Curiosidades- Ahora que vienen los exámenes...

Esta época del año suele ser la decisiva para acabar bien o no el curso. Los exámenes son una realidad inminente y saber hacerles frente a ellos es aprobar y acabar con muchas preocupaciones. Un examen es 2% suerte y el resto estudio. Si se ha trabajado la materia, hacerlo es un paso bastante grato. Eso sí, cuando vamos al examen ¡Nos ponemos todos nerviosos! Como bien demuestra Mr. Bean, entender las reglas del examen es vital para aprobar.

Curiosidades- A la caza de números primos. GIMPS

Una tarea pendiente para los matemáticos es encontrar un patrón para los números primos, que hasta hoy no ha habido método alguno de resumirlo en una sola ecuación. Uno de los ejemplos más interesantes en esta ingente búsqueda es el movimiento llamado The Great Internet Mersenne Prime Search, en el que interviene los pensamientos sobre números de un matemático francés del siglo XVI y las siempre sorprendentes propiedades de Internet. 

Esta curiosa historia comienza con la definición de primo de Mersenne. Todo número p natural que sea primo ( por ejemplo, 2,3,5,7...) el número 2 elevado a p -1 será también primo. Para los primeros valores de p, los resultados son claramente números primos son , pero cuanto más crece p, más difícil se hace su factorización . Además, hay casos, como, por ejemplo, cuando p=11, que el número resultante no es primo, a pesar de que el exponente sí lo es. 

Esta curiosa definición la propuso el matemático francés Marin Mersenne (1588-1648) y en la actualidad se usa para elaborar complejos métodos para identificar números primos con muchas cifras.

Marin Mersenne. Imagen extraída de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Marin_mersenne.jpg

Bajo esta idea, George Woltman creó el proyecto conocido como The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), traducido en páginas y revistas especializadas de habla hispánica como la Gran búsqueda de números primos de Mersenne,que se puede definir como la creación de una gran red colaboradora en la que los ordenadores personales de los voluntarios que participan en el proyecto (cualquiera que quiera participar solo ha de descargarse el software que facilita la asociación en su página web, en la que el ordenador trabaja en sus tiempos muertos actuando como salva pantallas  trabajan en paralelo con el fin de emular las capacidades de un superordenador. Con ello, se pretende realizar cálculos de factorización para la búsqueda de estos curiosos números primos. 

Este proyecto encontró desde su comienzo en el año 1997 hasta agosto del 2009, un total de doce de los 47 números primos de Mersenne conocidos en su momento. El GIMPS suscito la creación por parte de la organización Electronic Frontier Foundation (EFF) de un premio de 150.000 dólares al primero que descubriese un número primo de Mersenne con un mínimo de diez millones de cifras. Pese a la apariencia sencilla del problema planteado, encontrar un número de este tamaño y verificar que es primo, es una tarea que requiere gran conocimiento de matemáticas avanzadas y muchas horas de trabajo. En agosto de 2008, un matemático de la UCLA, Edson Smith, gano el primer concurso por el descubrimiento del número 2 elevado a 43.112.609 y a todo él le restamos uno, que contiene aproximadamente los trece millones de cifras, el más grande del momento. Puedes saber más sobre este tema en los siguientes enlaces:

http://www.mersenne.org/

http://es.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search

http://mersenne.org/various/57885161.htm

http://www.math.ucla.edu/~edson/prime/

http://www.today.ucla.edu/portal/ut/081008_mersenne-prime.aspx

Recientemente, se han descubierto dos primos de Mersenne, cada uno con 17 millones de cifras.

Acerca de- Marin Mersenne (1588-1648), matemático, filósofo y religioso francés  Realizo interesantes investigaciones en la teoría de números, geometría y física. Algunas obras importantes suyas son Cuestiones teológicas, físicas, morales y matemáticas (1634) o Armonía universal (1636). Además, fue el primero en crear un canal de comunicación europeo; en su celda del monasterio de la Anunciación (París), se encontraron documentos que mostraban que mantenía abiertas 78 lineas de correspondencia,  entre otras tantas, de investigación con pensadores claves como Descartes, Galileo, Pascal, Fermat o Torricelli.

Materiales- Cómo instalar Geogebra

En esta entrada vamos a ver cómo podemos hacernos con el programa Geogebra para poder empezar a trabajar con él. Aprender a usarlo nos ayudará en nuestro aprendizaje de las matemáticas. Además, es muy fácil de usar. Vamos a describir los pasos a seguir ilustrándolos con imágenes.

Empezamos; para instalar Geogebra hemos de seguir los siguientes pasos.

1. Nos dirigimos a la dirección web:

                                                http://www.geogebra.org/cms/

2. Lo primero que veremos será una gran portada con una ilustración hecha con el  programa ( que suele cambiar muy a menudo ) y un gran botón verde que pone Descarga. Hacemos doble clic en el. También hay enlaces a vídeos, materiales en pdf, foros, etc. De momento, no prestaremos atención a eso. 

3. Una vez hecho, se nos dirige a otra página. En esta vemos dos botones, uno que pone Webstart debajo de la cabecera de TeleInicio (Inicio Web) y otro botón, debajo de la cabecera Inicio de Aplicación/Applet, que se llama Applet Start. Para descargar el programa ( siempre será la versión actualizada, en este caso la 4.2) y usarlo desde nuestro escritorio (se creará automáticamente un icono) hemos de pinchar en la primera opción. La segunda nos permite usar una aplicación de Geogebra en la red, pero no instalará nada en nuestro equipo. Ojo, para acceder a ella hemos de tener instalado el buscador Google Chrome.

4. Al pinchar en el botón Webstart se descargará un ejecutable, un programa que nos solicitará instalarlo, le damos a todo aceptar y se ejecutara. Al final, en nuestro escritorio aparecerá un icono, que al pinchar sobre él abrirá el programa.

5. Nada más terminar  de instalar le programa aparecerá una pantalla avisándonos que este programa no se ejecuta desde una dirección no pública, pudienso producirse fallos. En principio, esto no da problemas si tenemos un antivirus instalado, y menos si no estamos conectados a Internet, luego obviaremos este mensaje dando siempre a Ejecutar. Este mensaje aparecerá cada vez que usemos el programa. Podemos impedir que aparezca si antes de elegir, marcamos la casilla que pone Confiar siempre en el contenido de este publicador.

6. Si tenemos instalado una versión de Geogebra anterior a lo que nos descargamos, el programa nos informará de que hemos de actualizarla. En ese momento aparecerá un pequeño cuadro  que se llama Advertencia de Asociación,en la cual hemos de pinchar, si queremos la nueva versión, la opción Aceptar. 

Curiosidades- Números y números primos

Un reto fascinante para los matemáticos es el estudio de los números primos, de los que ya se ha hablado (y se seguirá haciendo) aquí. Los mejores matemáticos de la historia han buscado entender cómo se manifiestan estos curiosos números, que os reconocemos por la propiedad de ser divisibles únicamente por sí mismo y la unidad (por ejemplo, dentro del conjunto de los números naturales, tenemos que son primos el 2, 3, 5, 7, 11, 13...) Lo que a mejor desconocemos es la presencia tan marcada en el mundo y la infinitud de curiosidades que poseen estas cifras. La serie documental La música de los números primos, basada en la obra del popular profesor de matemáticas Marcus du Satoy (el cual también produce y narra este documental con mucha gracia y acierto), nos acerca un poco al universo de estos curiosos entes matemáticos.

Acerca de-Marcus Du Satoy (Inglaterra, 1965) periodista, escritor y profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford, se hizo famoso por su trabajo de divulgación de las matemáticas, tanto por sus libros La música de los números primos, Simetría: un viaje a los patrones de la naturaleza y Los misterios de los números así como en sus series para la BBC.

Curiosidades- El número aureo

¿Qué tienen que ver las dimensiones de nuestro DNI, las obras del artista español Salvador Dalí, la distribución de las semillas de los girasoles, la forma de las galaxias y las melodías de las piezas de música clásicas y modernas? Cómo vemos en este capítulo del programa de divulgación REDES, presentado por Eduard Punset, es la presencia del número áureo. Aquí esta entero, luego armaós de paciencia.

Curiosidades- chistes matemático lógico

Extraido de http://lafuensantayelanton.blogspot.com.es/2012/06/pitagoras.html

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Curiosidades-2013, Año de la estadística

Este 2013 se conoce como año de la estadística. Esta ciencia, muy presente en las matemáticas de estos últimos dos siglos, es vital para el estudio de diversas situaciones, tales como el diseño de experimentos, la elaboración de teorías económicas y medioambientales, estudios sociológicos, etc. 

Cartel con motivo del año 2013 como año internacional de la estadística, extraido de http://www.statistics2013.org/statistics2013-posters/  

El presente vídeo, elaborado por la Statistics2013 Organization, formada por 1400 identidades distintas, señalan la importancia antes mencionada de la estadística en nuestro mundo moderno. Y por ende, de las matemáticas.

Sí quieres saber más, consulta las siguientes direcciones:

http://www.statisticsviews.com/view/index.html

http://www.statistics2013.org/about-us/

http://www.statisticsviews.com/details/video/3817441/Improving-Human-Welfare-in-2013-International-Year-of-Statistics.html

Curiosidades- Tres planos, tres muros y la sección aurea

Las preocupaciones en los fundamentos geométricos llevan a los matemáticos y artistas a reflexionar sobre ellos con un interés en ocasiones similares. El siguiente vídeo muestra algunos ejemplos del trabajo del escultor español Jorge Oteiza (1908-2003), que se encuentra en su museo (Alzuza, Navarra, donde se encontraba su casa y taller).

En su obra de los años 60-70 y 80-90, Oteiza usaba fundamentos matemáticos, en especial geométricos (geometría no-euclidiana, conceptos de cuerpos de revolución, volúmenes integrales, trayectorias, semejanza, variaciones consecuentes, etc. Se profundizará en estos conceptos en cursos universitarios, pero podemos ver su aplicación en las esculturas de una manera muy clara en el vídeo anterior) para intentar crear una escultura que se compusiera en vez de bloques tallados, de elementos tales como planos, rectas, etc para modelizar el vacío de su interior. Su trabajo, muy interesante desde el punto de vista matemático y estético, fue clave para la escultura española de finales del siglo XX.

Acerca de- Jorge de Oteiza Enbil (Orio (Guipúzcoa), 1908- San Sebastian (Guipúzcoa),2003), escultor español, figura clave de la llamada escuela de escultura vasca, a la que pertenecieron figuras como Eduardo Chillida. Su obra se caracteriza por su variedad formal y sus profundas implicaciones teóricas, destacando su estilo geométrico. Destacó además como poeta, director de cine, crítico de arte y filósofo. Puedes saber más de él y su trabajo en:

http://www.museooteiza.org/

http://es.wikipedia.org/wiki/Jorge_de_Oteiza

http://www.esculturaurbana.com/paginas/ote.htm

Jorge Oteiza, retrato tomado de http://www.esculturaurbana.com/paginas/ote.htm

Curiosidades- Suspenso a un genio de las matemáticas.

Si nos encontrásemos en un exámen de 1º o 2º de bachillerato la definición de función siguiente:

Una función es una cantidad compuesta por de cualquier manera a partir de una variable y constantes arbitrarias. 

tendriamos que suspender a ese alumno en cuestión, ya que la respueste es insuficiente comparada con la que tendría que darse, por ejemplo, como la que sigue, que proviene de "Diccionario de términos matemáticos", de Christopher Clapham:

Una función de dos conjuntos numéricos A y B no vacíos  que representaremos por f, es una regla que asocia a cada elemento de A (que denominaremos dominio) un único elemento de B (denominado  codominio). Dicho en otras palabras, si x es un elemento de A, existe uno y solo un elemento de B, que expresamos por f(x), denominado imagen de x por f.

Lo sorprendente es que la definición expuesta al principio es un fragmento de uno de los textos de investigación de Jean Bernouilli (1667-1748), uno de los matemáticos más influyentes del siglo XVIII famoso por sus primeras aplicaciones del cálculo diferencial a problemas de carácter geométrico y fundamentar la disciplina conocida como mecánica, además de pertenecer a una familia con generaciones de genios matemáticos. Lejos de reprochar como inutil el trabajo de Bernouilli por este fallo, este ejemplo sirve para que crear una conciencia de que las matemáticas actuales, tan sólidas y por supuesto bellas y útiles, han sido fruto de trabajo durante siglos de mentes de todas partes del mundo, las cuales han contribuido generosamente en esta ciencia. Un (buen) libro de matemáticas que cae en nuestras manos durante el bachillerato, es el reflejo de este coloso proceso, que aun continua y lejos está de tener fin.

Acerca de- Jean o Johann Bernouilli (1667-1748), matemático miembro de la familia Bernouilli, una de las más significativas en el desarrollo de las matemáticas de la Historia. Sus trabajos destacaron por la aplicación de las primeras técnicas de cálculo diferencial para resolver problemas geométricos y físicos. Para saber más, puedes consultar el siguiente enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli

Curiosidades-Engañando a las máquinas

Cuando Bill Gates dijo que la inteligencia no está en los ordenadores sino en la cabeza humana que debe dirigir al ordenador, seguramente no estaría pensando que una forma de ilustrarlo era usando matemáticas (o a lo mejor sí). Por ejemplo, hemos visto ( o vemos o veremos) en los albores del Bachillerato  que existen métodos algebraicos para resolver ecuaciones que distan muchos de las técnicas de las ecuaciones lineales o cuadradas. Estos métodos generan soluciones falsas, las cuales tienen que ser comprobadas por el alumno. Aquí se muestra una imagen de una sesión de álgebra obtenida con el software algebraico Maxima (se recomiendo pinchar sobre la imagen):

Como vemos, hemos introducido una ecuación con incógnitas en el denominador (en la pantalla viene dada por las expresiones marcadas por un %i1 y %o1). Después  hemos realizado paso a paso los procesos de simplificación concretos: hemos eliminado los divisores después de factorizar las expresiones, eliminamos términos repetidos y resolvemos una ecuación cuadrática (que son las entradas precedidas por %o2 a %o8); posteriormente aparecen dos soluciones ,x=-3 y x=1 (%o9); obviamente una es falsa, si bien el ordenador la procesa como correcta a pesar de que, ejecutando el comando solve(), que consigue hallar la solución por fuerza bruta (prueba introducir varias expresiones de tal manera que algunas han de cumplir la igualdad dada) y después las incluye en unos corchetes (%o10), solo obtiene una solución, contradiciendo la conclusión del proceso anterior. Ojo, no se está sugiriendo que el software es inútil o defectuoso, lo contrario, goza de una eficacia notable, cosa que ha llevado a Maxima a implantarse en cursos académicos de Física, Química y Matemáticas en universidades de todas partes del mundo. Solo se prueba de que si hubiésemos elaborado un algoritmo con los pasos anteriores y diésemos por  correctas ambas soluciones, comprobación que un estudiante no tarda ni dos minutos en hacer, estaríamos cometiendo un error. 

Acerca de- Bill Gates (nacido en 1968 en Seattle, Washington, Estados Unidos), empresario y filántropo americano, cofundador de la empresa de Microsoft y creador del sistema operativo Windows, el más usado por usuarios de todo el mundo. Para saber más sobre él, puedes acudir a:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Gates

Bill Gates, imagen tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billgates.jpg)

Maxima, Sistema Algebraico Computacional (SAC), de libre distribución capacitado para la manipulación  simbólica de expresiones matemáticas, además de realizar cálculos numéricos, procedimientos de análisis de datos, cálculo diferencial e integral y representaciones gráficas de todo tipo. Puedes consultar más sobre su origen y desarrollo en:

http://maxima.sourceforge.net/es/

http://es.wikipedia.org/wiki/Maxima

logo de Maxima

Curiosidades- Chistes matemáticos-lógicos

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Curiosidades-Chiste lógico matemático

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Presentación- Estrategias para resolver problemas geométricos

Presentación resolver problemas geométricos from Alemaiza

Curisidades- Matemáticas en Technicolor

Actualmente, disponemos de muchos medios para aprender geometría. Tenemos sofisticados programas, algunos incluso de carácter gratuito como Geogebra, libros de texto ampliamente ilustrados e incluso material audiovisual. Hoy vamos a ver uno antiguo, pero que nos parecerá sorprendentemente moderno. 

Se trata del libro The First Six books of The Elements of Euclid del matemático e ingeniero británico Oliver Byrne ( en la foto). La obra, publicada en 1847, tenía como objetivo principal, presentar los postulados básicos de Geometría, que nosotros aprenderemos en los cursos de la ESO correspondientemente en 3º y 4º, y veremos analíticamente en 1º de Bachiller, sin usar una sola expresión matemática. El libro está escrito en formas de diagramas geométricos e ilustrados con cuatro colores, una idea asombrosa y muy atractiva visualmente. Muchos artistas como Piet Mondrian, Max Bill o Victor Vasarelly se han referido al texto de Byrne como una de sus fuentes de inspiración.

Retrato de Oliver Byrne, extraido de http://mathdl.maa.org/mathDL/19/?pa=reviews&sa=viewBook&bookId=71359

Mirando rápidamente las páginas de una versión digital que proponemos en el siguiente enlace:

 http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html

Vemos como el autor trabaja con los elementos de Geometría (ángulos, rectas, triángulos,segmentos,etc) comos si estuviesen animados, y realiza operaciones con ellos, sin tener que recurrir a incógnitas o al temido en los primeros cursos, lenguaje de segmentos (AB con una raya por encima, o  [A,B] para designarlo, etc). Es una buena, y muy bonita, introducción al estudio de la Geometría Básica y un perfecto ejercicio de intuición espacial. Como anécdota, podemos señalar que la editorial de libros de arte Taschen ha vuelto a realizar una edición de la obra de Byrne. 

En el enlace debajo de la foto hay una pequeña biografía de Byrne y una nota detallada sobre la nueva edición de este bello libro.

Ejemplo del libro de Byrne en la que se demuestra el Teorema de Pitágoras (extraido desde http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Byrne_1847_Pythagoras_Querformat.jpg)

Materiales-Buscadores de Historia de las Matemáticas

A la hora de buscar información matemática, podemos recurrir a la red, aunque a veces esta actividad sin guia se vuelve altamente frustrante. Una buena idea es recurrir a MacTutor, un buscador diseñado por la facultad de Ciencias de la Universidad de St. Andrews que dispone de muchísima información sobre matemáticas. Ojo, está en inglés y la presentación de la información es muy elevada, luego es recomendable para alumnos de 1º y 2º de Bachillerato.
Otra idea mucho más dinámica y apto para todo nivel es el Portal matemático diseñado por Wikipedia. Aquí la información está clasificada en muchas etiquetas y muy bien organizada, y las traducciones de los originales han sido revisadas, luego suele ser muy fiable.

Las direcciones web son:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

http://es.wikipedia.org/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica

Aspecto de la página principal de MacTutor

Materiales-Biblioteca de poliedros

El tema de los poliedros hace que siempre me plantee las siguientes preguntas:

¿Cuantos poliedros distintos existen? ¿Son infinitos?¿Son solo los regulares?

La verdad es que sobre la definción de poliedros se reflexiona, en general, muy poco durante nuestra enseñanza en el instituto y grados universitarios, y es una auténtica lastima, ya que son, posiblemente, los objetos matemáticos más bonitos que existen. 
Podríamos  responder diciendo que existen tantos como se quieran, pues en principio, un poliedro es una serie de polígonos en el espacio de tal manera que dos caras o no se cortan o se cortan en un único vértice en común o bien en una sola arista.
Pero si nos preguntan cuantos poliedros regulares hay exactamente hay cinco: el tetraedro, el hexaedro (o cubo), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, todos ellos terminados en regulares. También existen poliedros de tipo aristotélico (están formados por caras de dos tipos distintos de polígonos), pirámides, etc.Así pues, vemos que es muy importante definir el tipo de poliedro, ya que este determinará toda la definición espacial y geométrica de un poliedro.

Algunos poliedros; de izquierda a derecha, una macla de dos cubos, un icosaedro regular y un dodecaedro estrellado  (imagen extraida de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/Three_polyhedra.jpg?uselang=es)

Vemos en las siguientes páginas web, realizadas por R. Mäder, con un software exclusivo para la resolución de problemas de carácter matemático llamado, como no, Mathematica, algunos de los tipos de poliedros regulares e irregulares existentes, ya sean conexos (Tomo I) o bien estrellados de tipo icosaedrico (Tomo II). Podemos ver propiedades de estos como números de vértices, caras y aristas y una representación tridimensional de este (aunque a veces, deja mucho que desear). En resumen, una buena forma de introducirse en el estudio de los poliedros y sus propiedades.

http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/list-graph.html

http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/list-graph.html

applet- Teorema de Euler

Uno de los teoremas más bonitos de la geometría plana es el denominado Teorema de la recta de Euler. Este teorema dice que:

Dado un triángulo, su baricentro,su circuncentro y su ortocentro están alineados. Si H ( ortocentro), O (circuncentro) y  G (baricentro) no son un mismo punto, existe una sola recta que pasa por estos tres puntos de tal manera que la dista que va del baricentro hasta el ortocentro es el doble de la del baricentro al circuncentro.

Nos conviene recordar que el ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo ( las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo que pasan por el vértice opuesto a este), el baricentro es el punto de corte de las medianas y el circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de los lados un triángulo. Este teorema se debe al genial matemático suizo Leonard Euler, que parece en la imagen, y fue uno de los estudiosos más importantes del campo de la geometría, aparte de  muchas disciplinas matemáticas más.

Retrato del genial matemático Leonard Euler (Imagen tomada de  http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonhard_Euler_2.jpg?uselang=es)

Presentamos aquí un applet de Geogebra que ilustra este teorema y poder trabajar con nuestro ordenador. El triángulo al que se va aplicar este teorema. Las rectas entrecortadas son bisectrices, mediatrices y medianas. La recta roja es la recta de Euler. Si movemos los vértices A,B y C del triángulo vemos como la recta también se desplaza, cumpliendo las propiedades antes definida. ¿Hay algún caso especial para el cual este teorema no se cumpla? Intentar buscar uno.

applet- Alturas en triángulos equiláteros e isosceles

Durante nuestro aprendizaje de geometría en los cursos más elementales, deberíamos de tener en mente una idea previa que nos será muy útiles para resolver algunos problemas. Cuando trazamos la altura de un lado de un triángulo equilátero, es decir, la recta que pasa por el vértice y es perpendicular al lado opuesto a este, la recta divide al lado en dos segmentos de la misma longitud. En caso de ser un triángulo isósceles, la altura del lado desigual también divide a este en dos segmentos iguales. Esta idea subyace de que el vértice opuesto, en ambos casos, está a la misma distancia de los extremos del intervalo, luego será un punto de la mediatriz del segmento ( es decir, un punto de la recta perpendicular de un segmento que lo divide en dos y todos sus puntos están a la misma distancia de los vértices del segmento). Así pues, por la definición que pase por su punto medio es obvio.

Nota: No me cansaré de repetir, solo para triángulos equiláteros e isósceles en el caso de que tracemos la altura del lado desigual.

Podemos ver esto en el siguiente applet de Geogebra. Si movemos los vértices azules, vemos cómo varían los lados del triángulo que tiene por extremo al vértice opuesto. Podemos construir un triángulo equilátero si hacemos coincidir los puntos... Espera, responde a esto tú.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Materiales-Geogebra, software de geometría dinámica

En algunos problemas, se nos pide una limpieza en la representación de los datos o del enunciado, en especial en Geometría, Geometría analítica y los primeros problemas de lo que llamamos Análisis y funciones.

Una herramienta bastante sofisticada y gratuita es Geogebra, un software usado en le estudio de la geometría dinámica ( aquella que manipula objetos geométricos) muy potente gráficamente hablando y que nos permite hacer tanto esquemas geométricos como representaciones de funciones con todo detalle. Es más, en las nuevas versiones, podemos elegir un entorno que nos selecciona las herramientas que vamos a usar según la actividad que realicemos.

Y también para ahorrarnos tiempo, ¡Hay funciones que a veces dudamos si seremos capaces de dibujarlas!.
Además la posibilidad de dibujar algo y poder modificarlo con un solo click del ratón hace que el trabajo rutinario y un poco pesado sea muy gratificante.
Aqui se presenta unas imágenes hechas con Geogebra (versión 4) como muestra ( muy pequeña) de lo que se puede hacer con este programa.

Imágenes realizadas con Geogebra versión 4  por el autor del blog

Otra ventaja de este programa, y muy en especial en el campo de la enseñanza, es que Geogebra funciona con unos comandos muy básicos y basados en los axiomas y principios de la Geometría básica y en definiciones que podemos encontrar en cualquier libro de texto de últimos años de la ESO hasta el Bachillerato, luego podemos reforzar los contenidos al trabajar pensando qué principio o axioma hemos de aplicar, induciendo de alguna manera al razonamiento axiomático que tan difícil es de trasmitir.

Puede descargarse gratuitamente en:

http://www.geogebra.org/cms/

Donde se puede encontrar más información acerca del programa, su funcionamiento, manuales, etc.