Curiosidades- 4 posibles formas de entender las matemáticas (I).

Según avanza un alumno en el Bachillerato, vereís que hay situaciones matemáticas que se resisten a un único enfoque. En la ESO aprendimos que algunos problemas se resolvían aplicando una fórmula, definiendo una función, haciendo un diagrama o sencillamente copiando del cuaderno de algún compañero (es broma).

Existe una forma de entender las matemáticas, una técnica de resolución de problemas más bien, propuesta por el conocido profesor de matemáticas James Stewart. Se denomina la técnica de los cuatro puntos de vista.

Muy usada en las ramas del cálculo y la geometría analítica, consiste en lo siguiente.

Dado un problema determinado, en la que su solución pase por definir una función (o a lo mejor varias, o funciones cuyos valores dependa de otras, etc. pero quedémonos en el primer caso que será más que suficiente para ilustrar nuestros objetivos), hemos de definir esta de las siguiente manera:

1. Verbalmente (describimos textualmente lo más importante de la función; si es una potencia a qué base está elevada, cuales son los puntos en los que nos debemos fijar y que valores tiene, cuales son las magnitudes de las variables dependiente e independiente son algunas de las observaciones que debemos dar)
2. Numéricamente (realizamos una tabla de valores que contenga información de las variables dependientes e independientes)
3. Gráficamente (elaboramos, a partir de los datos de la tabla anterior o de la expresión algebraica que veremos en el siguiente una representación)
4. Algebraicamente (definimos explícitamente la función a la que nos enfrentemos, definiendo la según la variable independiente)

Vemos que estos pasos no se tienen necesariamente que aplicar en el orden expuesto. Es más, en ocasiones se nos ofrece una función y hemos de describirla gráficamente o hallar un valor determinado o los valores de un intervalo correspondiente y después de ello, realizar una descripción de lo que hemos hecho). Mas adelante se profundizará sobre esta postura de aprendizaje, que da muy buenos resultados en  niveles tanto universitarios como de Bachillerato.

Acerca de- James Stewart es una matemático canadiense que ha destacado sobre todo en el ámbito educacional de la disciplina del cálculo. Sus libros sobre la materia han llegado a ser best-sellers (Cálculus: concepts and contest, Single Variable Essential Calculus, Early Transcendentals). Es profesor emérito de la universidad de McMaster, director de un centro de estudios e investigación de matemáticas y violinista  destacado de la Orquesta Filarmónica Hamilton. Además, ideo una casa cuya arquitectura se basa en los principios del cálculo. Para saber más de él, se pueden consultarlos siguientes enlaces:

http://www.stewartcalculus.com/

 

http://www.maa.org/news/042810Stewart.html

http://www.thestar.com/news/article/933017--the-house-that-math-built

James Stewart, imagen tomada de http://www.stewartcalculus.com/media/index_about.php

Curiosidades- Suspenso a un genio de las matemáticas.

Si nos encontrásemos en un exámen de 1º o 2º de bachillerato la definición de función siguiente:

Una función es una cantidad compuesta por de cualquier manera a partir de una variable y constantes arbitrarias. 

tendriamos que suspender a ese alumno en cuestión, ya que la respueste es insuficiente comparada con la que tendría que darse, por ejemplo, como la que sigue, que proviene de "Diccionario de términos matemáticos", de Christopher Clapham:

Una función de dos conjuntos numéricos A y B no vacíos  que representaremos por f, es una regla que asocia a cada elemento de A (que denominaremos dominio) un único elemento de B (denominado  codominio). Dicho en otras palabras, si x es un elemento de A, existe uno y solo un elemento de B, que expresamos por f(x), denominado imagen de x por f.

Lo sorprendente es que la definición expuesta al principio es un fragmento de uno de los textos de investigación de Jean Bernouilli (1667-1748), uno de los matemáticos más influyentes del siglo XVIII famoso por sus primeras aplicaciones del cálculo diferencial a problemas de carácter geométrico y fundamentar la disciplina conocida como mecánica, además de pertenecer a una familia con generaciones de genios matemáticos. Lejos de reprochar como inutil el trabajo de Bernouilli por este fallo, este ejemplo sirve para que crear una conciencia de que las matemáticas actuales, tan sólidas y por supuesto bellas y útiles, han sido fruto de trabajo durante siglos de mentes de todas partes del mundo, las cuales han contribuido generosamente en esta ciencia. Un (buen) libro de matemáticas que cae en nuestras manos durante el bachillerato, es el reflejo de este coloso proceso, que aun continua y lejos está de tener fin.

Acerca de- Jean o Johann Bernouilli (1667-1748), matemático miembro de la familia Bernouilli, una de las más significativas en el desarrollo de las matemáticas de la Historia. Sus trabajos destacaron por la aplicación de las primeras técnicas de cálculo diferencial para resolver problemas geométricos y físicos. Para saber más, puedes consultar el siguiente enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli

Curiosidades-Engañando a las máquinas

Cuando Bill Gates dijo que la inteligencia no está en los ordenadores sino en la cabeza humana que debe dirigir al ordenador, seguramente no estaría pensando que una forma de ilustrarlo era usando matemáticas (o a lo mejor sí). Por ejemplo, hemos visto ( o vemos o veremos) en los albores del Bachillerato  que existen métodos algebraicos para resolver ecuaciones que distan muchos de las técnicas de las ecuaciones lineales o cuadradas. Estos métodos generan soluciones falsas, las cuales tienen que ser comprobadas por el alumno. Aquí se muestra una imagen de una sesión de álgebra obtenida con el software algebraico Maxima (se recomiendo pinchar sobre la imagen):

Como vemos, hemos introducido una ecuación con incógnitas en el denominador (en la pantalla viene dada por las expresiones marcadas por un %i1 y %o1). Después  hemos realizado paso a paso los procesos de simplificación concretos: hemos eliminado los divisores después de factorizar las expresiones, eliminamos términos repetidos y resolvemos una ecuación cuadrática (que son las entradas precedidas por %o2 a %o8); posteriormente aparecen dos soluciones ,x=-3 y x=1 (%o9); obviamente una es falsa, si bien el ordenador la procesa como correcta a pesar de que, ejecutando el comando solve(), que consigue hallar la solución por fuerza bruta (prueba introducir varias expresiones de tal manera que algunas han de cumplir la igualdad dada) y después las incluye en unos corchetes (%o10), solo obtiene una solución, contradiciendo la conclusión del proceso anterior. Ojo, no se está sugiriendo que el software es inútil o defectuoso, lo contrario, goza de una eficacia notable, cosa que ha llevado a Maxima a implantarse en cursos académicos de Física, Química y Matemáticas en universidades de todas partes del mundo. Solo se prueba de que si hubiésemos elaborado un algoritmo con los pasos anteriores y diésemos por  correctas ambas soluciones, comprobación que un estudiante no tarda ni dos minutos en hacer, estaríamos cometiendo un error. 

Acerca de- Bill Gates (nacido en 1968 en Seattle, Washington, Estados Unidos), empresario y filántropo americano, cofundador de la empresa de Microsoft y creador del sistema operativo Windows, el más usado por usuarios de todo el mundo. Para saber más sobre él, puedes acudir a:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Gates

Bill Gates, imagen tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billgates.jpg)

Maxima, Sistema Algebraico Computacional (SAC), de libre distribución capacitado para la manipulación  simbólica de expresiones matemáticas, además de realizar cálculos numéricos, procedimientos de análisis de datos, cálculo diferencial e integral y representaciones gráficas de todo tipo. Puedes consultar más sobre su origen y desarrollo en:

http://maxima.sourceforge.net/es/

http://es.wikipedia.org/wiki/Maxima

logo de Maxima

Curiosidades- Lección de álgebra en tres pasos

            Toma solo lo que necesites, 

            opera como debes,
            y obtendrás lo que deseas.

Esta cita era el secreto para dominar el álgebra propuesto por el ilustre Matemático alemán Gottfried Wilheln Leibniz, figura clave en la historia del pensamiento matemático. El autor opina que no se puede recibir mejor consejo para cualquier rama de las matemáticas.

Estatua de Leibniz en la ciudad de Leipzig (tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leibniz-Denkmal.jpeg)

Acerca de- Gottfired Wilhel Leibniz, matemático y filósofo alemán (1646-1719). Realizó aportaciones fundamentales a las matemáticas en diversos campos, tales como la lógica matemática, la geometría analítica y la combinatoria, además de asentar las bases del actual cálculo diferencial e integral,tarea que se vio enturbiadas por el enfrentamiento que tuvo con el matemático y físico inglés Sir Isaac Newton sobre la autoría de los hallazgos. Puedes saber más sobre él en los siguientes enlaces:

http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

http://www.leibniz.es/

http://www.helicon.es/pen/8542205.htm

Presentación-Ecuaciones (1º y 2º de bachiller)

Presentación extensión de álgebra (perlas) from Alemaiza

Presentaciones- Ejercicios de logaritmos (1º bachillerato)

Dejo aquí una presentación con ejercicios de logaritmos exclusiva para repasar este tema en 1º de Bachillerato. Están resuletos y explicados.

Logaritmos from Alemaiza

Materiales-esquema de las funciones elementales

Pequeño esquema sobre las funciones elemntales sobre su tipo y caractertisticas principales.

Muy burdo,solo sirve para experimentar con las imágenes.

Presentación- Resoluciones de ecuaciones (4º ESO)

Diapositivas pablo 2 from Alemaiza

Materiales-Geogebra, software de geometría dinámica

En algunos problemas, se nos pide una limpieza en la representación de los datos o del enunciado, en especial en Geometría, Geometría analítica y los primeros problemas de lo que llamamos Análisis y funciones.

Una herramienta bastante sofisticada y gratuita es Geogebra, un software usado en le estudio de la geometría dinámica ( aquella que manipula objetos geométricos) muy potente gráficamente hablando y que nos permite hacer tanto esquemas geométricos como representaciones de funciones con todo detalle. Es más, en las nuevas versiones, podemos elegir un entorno que nos selecciona las herramientas que vamos a usar según la actividad que realicemos.

Y también para ahorrarnos tiempo, ¡Hay funciones que a veces dudamos si seremos capaces de dibujarlas!.
Además la posibilidad de dibujar algo y poder modificarlo con un solo click del ratón hace que el trabajo rutinario y un poco pesado sea muy gratificante.
Aqui se presenta unas imágenes hechas con Geogebra (versión 4) como muestra ( muy pequeña) de lo que se puede hacer con este programa.

Imágenes realizadas con Geogebra versión 4  por el autor del blog

Otra ventaja de este programa, y muy en especial en el campo de la enseñanza, es que Geogebra funciona con unos comandos muy básicos y basados en los axiomas y principios de la Geometría básica y en definiciones que podemos encontrar en cualquier libro de texto de últimos años de la ESO hasta el Bachillerato, luego podemos reforzar los contenidos al trabajar pensando qué principio o axioma hemos de aplicar, induciendo de alguna manera al razonamiento axiomático que tan difícil es de trasmitir.

Puede descargarse gratuitamente en:

http://www.geogebra.org/cms/

Donde se puede encontrar más información acerca del programa, su funcionamiento, manuales, etc.