Esquema- Determinar una asíntota horizontal u oblicua

Este esquema intenta señalar cómo identificar asíntotas horizontales u oblicuas ( Aquellas para las cuales x tiende a infinito o menos infinito) de funciones racionales.

Diagrama de flujo que muestra cómo identificar asíntotas horizontales u oblicuas.

Esquema- representación de una función

Cuando se nos pide representar una función (generalmente polinómica o racional; es un ejercicio muy usual durante el Bachillerato), hemos de seguir una serie de pasos para evitar complicaciones o no dibujarla bien. Este es un ejercicio interesante para adquirir buenos hábitos como matemáticos, ya que nos hace ser consecuentes, cuidadosos y ciertamente detallista. 

Para representar una función, f(x), generalmente racional o polinómica, hemos de hacer lo siguiente:

1. Hallamos su dominio ( los valores de x para los cuales la función existe).

2. Si existen, hallamos los puntos de discontinuidad (aquellos para los cuales la función presenta una discontinuidad de tipo un salto finito o infinito.

2.1 Definimos en estos puntos las asíntotas verticales de la función. Si existe una discontinuidad de tipo salto infinito en el punto  de abscisa a, tendremos que la ecuación de esta asíntota es x=a. Si es una discontinuidad de tipo salto finito, en la gráfica se representa como un punto vacío.

3. Hallamos las ecuaciones de las asintotas horizontales. 

3.1 Recuerda que pueden ser ramas parabólicas, asíntotas oblicuas o asíntotas horizontales. 

4. Hallamos la dervada de la función, y buscamos aquellos puntos x para los cuales es 0.

4.1 Si existen, los clasificamos como máximos, mínimos y puntos de inflexión.

5. Si no existen puntos de discontinuidad, hallamos algunos puntos importantes para entender la función (puntos de corte con los ejes de coordenadas, aquellos cuya ordenada, f(x), es fácil de calcular, etc). Ojo, en caso de que la función sea compleja, hallar estos puntos nos facilitará su dibujo. Deberíamos hallarlos aunque tengamos definidos los extremos.

Y ya, por fin, hacemos un dibujo de la función, indicando con detalle las asíntotas que hemos obtenido y los puntos de inflexión.

Para ver estos pasos con más claridad podemos realizar el siguiente diagrama de flujo, que nos muestra cómo realizar la gráfica de una función con los pasos anteriores. Tal como se define, este diagrama muestra que operaciones hacer en cada momento según la situación del problema. En 2º de Bachillerato aprenderemos a determinar cuando una función es cóncava o convexa. 

Diagrama de flujo que nos muestra el proceso de dibujar la gráfica de una función f(x) utilizando los pasos anteriores.

Vídeos- Regla de la cadena

En numerosas ocasiones, al realizar la derivada de una función, nos encontramos con la regla de la cadena. En este vídeo de Unicoos, nos ofrecen múltiples ejemplos de cómo aplicar esta a funciones de diverso tipos. Si bien está pensado para 2º de Bachillerato, no viene nada mal que un alumno de 1º de Bachillerato intentase seguir los razonamientos del profesor, comprensibles con un poco de conocimiento sobre la derivada de una función y el uso de las principales reglas de derivación.

Curiosidades- ¿Para que me sirve derivar?

Es muy usual, cuando un alumno de primero de Bachiller se adentra en el concepto de derivada, que oiga por parte de su profesor la siguiente expresión: Bueno, el concepto de derivada es muy importante. Muchísimas aplicaciones depende de él. 

Y en segundo de Bachiller, tras estudiar con más detalle la definición de velocidad instantánea, aceleración instantánea  potencial de una carga eléctrica  etc. le dicen: Aparte de las aplicaciones que ya conocéis la derivada [ y en ocasiones menciona también a la integral], sirve para otro montón de cosas. 

Y es totalmente cierto; el concepto de derivada es fundamental para la ciencia y la tecnología actuales. Sus aplicaciones son numerosas. Para bosquejar la importancia de este concepto, daremos una lista de aplicaciones de la derivada según que campos. Esta ha sido extraída en su mayoría del texto Cálculo: conceptos y contextos de James Stewart, pero la podéis ampliar todo lo que queráis.

1. Ingeniería

• Determinar el centro de gravedad de una estructura compleja.

• Determinar la presión que puede aguantar una construcción ejercida por medios externos

• Estudiar la resistencia de los materiales de construcción.

• Elaboración de modelos informáticos de fenómenos complejos utilizando la integración y derivación numérica.

2. Electromagnetismo (rama de la Física que estudia la electricidad)

• Determinar el potencial eléctrico de una carga.

• El valor de un campo magnético en una superficie.

• Hallar la corriente inducida (fem) en un circuito continuo debido a un campo magnético.

3. Dinámica y cinemática (ramas de la Física que estudia el movimiento y la fuerza)

• Determinar la aceleración o velocidad de un cuerpo con una trayectoria dada con un movimiento determinado.

• Determinar el trabajo, energía o potencia de un sistema de uno o varios cuerpos.

• Calcular el centro de masas de un sistema de partículas o un cuerpo.

4. Medicina

• Calcular la velocidad de la sangre que corre a través de un tipo de vena concreta (utilizando un fenómeno físico conocido como ley del flujo laminar).

• Estudiar el crecimiento de una población de bacterias o virus en un entorno controlado.

• Estudio de la forma de tumores y su modelado por ordenador.

5. Economía

• Determinar el coste que ha de asumir una empresa para elaborar un producto (función de costo) con respecto a  las posibles ganancias.

• Estimación de indicadores económicos para la elaboración de productos bursátiles destinados a la bolsa.

6. Sociología

• Conocer la extensión de un rumor en una sociedad según el tiempo transcurrido (velocidad de transmisión del rumor).

• Determinar el crecimiento en curvas de aprendizaje (representación gráfica del rendimiento de una persona, P(t), en función del tiempo t, transcurrido durante su aprendizaje) para valorar modelos educativos.

Vídeo- Derivada de una función usando la definición

Hallar la derivada de una función por la definición es una labor un tanto complicada de entender. Este vídeo de la serie de Unicoos nos explica cómo hallarla con un ejemplo muy interesante.

Presentación- Valor absoluto de una función; ejercicios

El concepto de valor absoluto de una función da mucho juego para ejercitarse en el estudio del dominio de una función, ejercicios de intervalos, etc. Se presentan aquí tres ejercicios tipo que nos podemos encontrar en 1º de Bachillerato y el comienzo de 2º de Bachiller en el temario de análisis.

Se recomienda al lector que corrobore los cálculos a mano que aparecen en estas diapositivas.

Ejercicios valor absoluto from Alemaiza

Vídeo- Ejercicios sobre discontinuidades

Las discontinuidades son un conocido (a veces muy desagradable) para todo estudiante de primero de Bachillerato. Este vídeo de Unicoos muestra cómo enfrentarse a ellas usando la definición de asíntota.