Esquema- Determinar una asíntota horizontal u oblicua

Este esquema intenta señalar cómo identificar asíntotas horizontales u oblicuas ( Aquellas para las cuales x tiende a infinito o menos infinito) de funciones racionales.

Diagrama de flujo que muestra cómo identificar asíntotas horizontales u oblicuas.

Esquema- representación de una función

Cuando se nos pide representar una función (generalmente polinómica o racional; es un ejercicio muy usual durante el Bachillerato), hemos de seguir una serie de pasos para evitar complicaciones o no dibujarla bien. Este es un ejercicio interesante para adquirir buenos hábitos como matemáticos, ya que nos hace ser consecuentes, cuidadosos y ciertamente detallista. 

Para representar una función, f(x), generalmente racional o polinómica, hemos de hacer lo siguiente:

1. Hallamos su dominio ( los valores de x para los cuales la función existe).

2. Si existen, hallamos los puntos de discontinuidad (aquellos para los cuales la función presenta una discontinuidad de tipo un salto finito o infinito.

2.1 Definimos en estos puntos las asíntotas verticales de la función. Si existe una discontinuidad de tipo salto infinito en el punto  de abscisa a, tendremos que la ecuación de esta asíntota es x=a. Si es una discontinuidad de tipo salto finito, en la gráfica se representa como un punto vacío.

3. Hallamos las ecuaciones de las asintotas horizontales. 

3.1 Recuerda que pueden ser ramas parabólicas, asíntotas oblicuas o asíntotas horizontales. 

4. Hallamos la dervada de la función, y buscamos aquellos puntos x para los cuales es 0.

4.1 Si existen, los clasificamos como máximos, mínimos y puntos de inflexión.

5. Si no existen puntos de discontinuidad, hallamos algunos puntos importantes para entender la función (puntos de corte con los ejes de coordenadas, aquellos cuya ordenada, f(x), es fácil de calcular, etc). Ojo, en caso de que la función sea compleja, hallar estos puntos nos facilitará su dibujo. Deberíamos hallarlos aunque tengamos definidos los extremos.

Y ya, por fin, hacemos un dibujo de la función, indicando con detalle las asíntotas que hemos obtenido y los puntos de inflexión.

Para ver estos pasos con más claridad podemos realizar el siguiente diagrama de flujo, que nos muestra cómo realizar la gráfica de una función con los pasos anteriores. Tal como se define, este diagrama muestra que operaciones hacer en cada momento según la situación del problema. En 2º de Bachillerato aprenderemos a determinar cuando una función es cóncava o convexa. 

Diagrama de flujo que nos muestra el proceso de dibujar la gráfica de una función f(x) utilizando los pasos anteriores.

Curiosidades- ¿Para que me sirve derivar?

Es muy usual, cuando un alumno de primero de Bachiller se adentra en el concepto de derivada, que oiga por parte de su profesor la siguiente expresión: Bueno, el concepto de derivada es muy importante. Muchísimas aplicaciones depende de él. 

Y en segundo de Bachiller, tras estudiar con más detalle la definición de velocidad instantánea, aceleración instantánea  potencial de una carga eléctrica  etc. le dicen: Aparte de las aplicaciones que ya conocéis la derivada [ y en ocasiones menciona también a la integral], sirve para otro montón de cosas. 

Y es totalmente cierto; el concepto de derivada es fundamental para la ciencia y la tecnología actuales. Sus aplicaciones son numerosas. Para bosquejar la importancia de este concepto, daremos una lista de aplicaciones de la derivada según que campos. Esta ha sido extraída en su mayoría del texto Cálculo: conceptos y contextos de James Stewart, pero la podéis ampliar todo lo que queráis.

1. Ingeniería

• Determinar el centro de gravedad de una estructura compleja.

• Determinar la presión que puede aguantar una construcción ejercida por medios externos

• Estudiar la resistencia de los materiales de construcción.

• Elaboración de modelos informáticos de fenómenos complejos utilizando la integración y derivación numérica.

2. Electromagnetismo (rama de la Física que estudia la electricidad)

• Determinar el potencial eléctrico de una carga.

• El valor de un campo magnético en una superficie.

• Hallar la corriente inducida (fem) en un circuito continuo debido a un campo magnético.

3. Dinámica y cinemática (ramas de la Física que estudia el movimiento y la fuerza)

• Determinar la aceleración o velocidad de un cuerpo con una trayectoria dada con un movimiento determinado.

• Determinar el trabajo, energía o potencia de un sistema de uno o varios cuerpos.

• Calcular el centro de masas de un sistema de partículas o un cuerpo.

4. Medicina

• Calcular la velocidad de la sangre que corre a través de un tipo de vena concreta (utilizando un fenómeno físico conocido como ley del flujo laminar).

• Estudiar el crecimiento de una población de bacterias o virus en un entorno controlado.

• Estudio de la forma de tumores y su modelado por ordenador.

5. Economía

• Determinar el coste que ha de asumir una empresa para elaborar un producto (función de costo) con respecto a  las posibles ganancias.

• Estimación de indicadores económicos para la elaboración de productos bursátiles destinados a la bolsa.

6. Sociología

• Conocer la extensión de un rumor en una sociedad según el tiempo transcurrido (velocidad de transmisión del rumor).

• Determinar el crecimiento en curvas de aprendizaje (representación gráfica del rendimiento de una persona, P(t), en función del tiempo t, transcurrido durante su aprendizaje) para valorar modelos educativos.

Vídeo- Derivada de una función usando la definición

Hallar la derivada de una función por la definición es una labor un tanto complicada de entender. Este vídeo de la serie de Unicoos nos explica cómo hallarla con un ejemplo muy interesante.

Vídeos- Límites con el número e

Dentro de la teoría de límites de 1º y 2º de Bachillerato, nos encontramos con la indeterminación 1 elevado a infinito usando la definición del número e. Estos vídeos nos muestran con dos ejemplos muy detallados cómo resolverlos a partir de la definición y con límites.
Observad bien en las correcciones que hace y en las explicaciones sobre los resultados de sus límites.

Curiosidades- 4 posibles formas de entender las matemáticas (I).

Según avanza un alumno en el Bachillerato, vereís que hay situaciones matemáticas que se resisten a un único enfoque. En la ESO aprendimos que algunos problemas se resolvían aplicando una fórmula, definiendo una función, haciendo un diagrama o sencillamente copiando del cuaderno de algún compañero (es broma).

Existe una forma de entender las matemáticas, una técnica de resolución de problemas más bien, propuesta por el conocido profesor de matemáticas James Stewart. Se denomina la técnica de los cuatro puntos de vista.

Muy usada en las ramas del cálculo y la geometría analítica, consiste en lo siguiente.

Dado un problema determinado, en la que su solución pase por definir una función (o a lo mejor varias, o funciones cuyos valores dependa de otras, etc. pero quedémonos en el primer caso que será más que suficiente para ilustrar nuestros objetivos), hemos de definir esta de las siguiente manera:

1. Verbalmente (describimos textualmente lo más importante de la función; si es una potencia a qué base está elevada, cuales son los puntos en los que nos debemos fijar y que valores tiene, cuales son las magnitudes de las variables dependiente e independiente son algunas de las observaciones que debemos dar)
2. Numéricamente (realizamos una tabla de valores que contenga información de las variables dependientes e independientes)
3. Gráficamente (elaboramos, a partir de los datos de la tabla anterior o de la expresión algebraica que veremos en el siguiente una representación)
4. Algebraicamente (definimos explícitamente la función a la que nos enfrentemos, definiendo la según la variable independiente)

Vemos que estos pasos no se tienen necesariamente que aplicar en el orden expuesto. Es más, en ocasiones se nos ofrece una función y hemos de describirla gráficamente o hallar un valor determinado o los valores de un intervalo correspondiente y después de ello, realizar una descripción de lo que hemos hecho). Mas adelante se profundizará sobre esta postura de aprendizaje, que da muy buenos resultados en  niveles tanto universitarios como de Bachillerato.

Acerca de- James Stewart es una matemático canadiense que ha destacado sobre todo en el ámbito educacional de la disciplina del cálculo. Sus libros sobre la materia han llegado a ser best-sellers (Cálculus: concepts and contest, Single Variable Essential Calculus, Early Transcendentals). Es profesor emérito de la universidad de McMaster, director de un centro de estudios e investigación de matemáticas y violinista  destacado de la Orquesta Filarmónica Hamilton. Además, ideo una casa cuya arquitectura se basa en los principios del cálculo. Para saber más de él, se pueden consultarlos siguientes enlaces:

http://www.stewartcalculus.com/

 

http://www.maa.org/news/042810Stewart.html

http://www.thestar.com/news/article/933017--the-house-that-math-built

James Stewart, imagen tomada de http://www.stewartcalculus.com/media/index_about.php