Curiosidades- A la caza de números primos. GIMPS

Una tarea pendiente para los matemáticos es encontrar un patrón para los números primos, que hasta hoy no ha habido método alguno de resumirlo en una sola ecuación. Uno de los ejemplos más interesantes en esta ingente búsqueda es el movimiento llamado The Great Internet Mersenne Prime Search, en el que interviene los pensamientos sobre números de un matemático francés del siglo XVI y las siempre sorprendentes propiedades de Internet. 

Esta curiosa historia comienza con la definición de primo de Mersenne. Todo número p natural que sea primo ( por ejemplo, 2,3,5,7...) el número 2 elevado a p -1 será también primo. Para los primeros valores de p, los resultados son claramente números primos son , pero cuanto más crece p, más difícil se hace su factorización . Además, hay casos, como, por ejemplo, cuando p=11, que el número resultante no es primo, a pesar de que el exponente sí lo es. 

Esta curiosa definición la propuso el matemático francés Marin Mersenne (1588-1648) y en la actualidad se usa para elaborar complejos métodos para identificar números primos con muchas cifras.

Marin Mersenne. Imagen extraída de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Marin_mersenne.jpg

Bajo esta idea, George Woltman creó el proyecto conocido como The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), traducido en páginas y revistas especializadas de habla hispánica como la Gran búsqueda de números primos de Mersenne,que se puede definir como la creación de una gran red colaboradora en la que los ordenadores personales de los voluntarios que participan en el proyecto (cualquiera que quiera participar solo ha de descargarse el software que facilita la asociación en su página web, en la que el ordenador trabaja en sus tiempos muertos actuando como salva pantallas  trabajan en paralelo con el fin de emular las capacidades de un superordenador. Con ello, se pretende realizar cálculos de factorización para la búsqueda de estos curiosos números primos. 

Este proyecto encontró desde su comienzo en el año 1997 hasta agosto del 2009, un total de doce de los 47 números primos de Mersenne conocidos en su momento. El GIMPS suscito la creación por parte de la organización Electronic Frontier Foundation (EFF) de un premio de 150.000 dólares al primero que descubriese un número primo de Mersenne con un mínimo de diez millones de cifras. Pese a la apariencia sencilla del problema planteado, encontrar un número de este tamaño y verificar que es primo, es una tarea que requiere gran conocimiento de matemáticas avanzadas y muchas horas de trabajo. En agosto de 2008, un matemático de la UCLA, Edson Smith, gano el primer concurso por el descubrimiento del número 2 elevado a 43.112.609 y a todo él le restamos uno, que contiene aproximadamente los trece millones de cifras, el más grande del momento. Puedes saber más sobre este tema en los siguientes enlaces:

http://www.mersenne.org/

http://es.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search

http://mersenne.org/various/57885161.htm

http://www.math.ucla.edu/~edson/prime/

http://www.today.ucla.edu/portal/ut/081008_mersenne-prime.aspx

Recientemente, se han descubierto dos primos de Mersenne, cada uno con 17 millones de cifras.

Acerca de- Marin Mersenne (1588-1648), matemático, filósofo y religioso francés  Realizo interesantes investigaciones en la teoría de números, geometría y física. Algunas obras importantes suyas son Cuestiones teológicas, físicas, morales y matemáticas (1634) o Armonía universal (1636). Además, fue el primero en crear un canal de comunicación europeo; en su celda del monasterio de la Anunciación (París), se encontraron documentos que mostraban que mantenía abiertas 78 lineas de correspondencia,  entre otras tantas, de investigación con pensadores claves como Descartes, Galileo, Pascal, Fermat o Torricelli.

Materiales- Cómo instalar Geogebra

En esta entrada vamos a ver cómo podemos hacernos con el programa Geogebra para poder empezar a trabajar con él. Aprender a usarlo nos ayudará en nuestro aprendizaje de las matemáticas. Además, es muy fácil de usar. Vamos a describir los pasos a seguir ilustrándolos con imágenes.

Empezamos; para instalar Geogebra hemos de seguir los siguientes pasos.

1. Nos dirigimos a la dirección web:

                                                http://www.geogebra.org/cms/

2. Lo primero que veremos será una gran portada con una ilustración hecha con el  programa ( que suele cambiar muy a menudo ) y un gran botón verde que pone Descarga. Hacemos doble clic en el. También hay enlaces a vídeos, materiales en pdf, foros, etc. De momento, no prestaremos atención a eso. 

3. Una vez hecho, se nos dirige a otra página. En esta vemos dos botones, uno que pone Webstart debajo de la cabecera de TeleInicio (Inicio Web) y otro botón, debajo de la cabecera Inicio de Aplicación/Applet, que se llama Applet Start. Para descargar el programa ( siempre será la versión actualizada, en este caso la 4.2) y usarlo desde nuestro escritorio (se creará automáticamente un icono) hemos de pinchar en la primera opción. La segunda nos permite usar una aplicación de Geogebra en la red, pero no instalará nada en nuestro equipo. Ojo, para acceder a ella hemos de tener instalado el buscador Google Chrome.

4. Al pinchar en el botón Webstart se descargará un ejecutable, un programa que nos solicitará instalarlo, le damos a todo aceptar y se ejecutara. Al final, en nuestro escritorio aparecerá un icono, que al pinchar sobre él abrirá el programa.

5. Nada más terminar  de instalar le programa aparecerá una pantalla avisándonos que este programa no se ejecuta desde una dirección no pública, pudienso producirse fallos. En principio, esto no da problemas si tenemos un antivirus instalado, y menos si no estamos conectados a Internet, luego obviaremos este mensaje dando siempre a Ejecutar. Este mensaje aparecerá cada vez que usemos el programa. Podemos impedir que aparezca si antes de elegir, marcamos la casilla que pone Confiar siempre en el contenido de este publicador.

6. Si tenemos instalado una versión de Geogebra anterior a lo que nos descargamos, el programa nos informará de que hemos de actualizarla. En ese momento aparecerá un pequeño cuadro  que se llama Advertencia de Asociación,en la cual hemos de pinchar, si queremos la nueva versión, la opción Aceptar. 

Curiosidades- Sesión de cine matemático (I)

Empezamos esta serie de entradas esbozando un poco la película Pi: fear to chaos, del director americano Darren Aranofsky, rodada en 1998.

Cartel de la película

Interesante película de ciencia ficción rodada totalmente en blanco y negro y con un toque propio de las obras de Kafka, narra la historía de Maximillian Cohen, un brillante matemático aquejado de severas enfermedades, que intenta crear un modelo numérico de la bolsa usando un superordenador creado por él mismo llamado Euclides (como el matemático). Max obtienen (no sin antes pasar una serie de experiencias muy malas) una serie de números, cuyo sentido es muy diverso; según su antiguo mentor, un matemático retirado del mundo académico, son los últimos dígitos del número pi, que intento obtener en una serie de experimentos informáticos infructuosos, un grupo de estudiosos de la Torá creen que lo que el protagonista tiene es el nombre completo de Dios, mientras que los representantes de una asociación dedicada a las financias internacionales creen que lo que Max ha obtenido es una serie de valores bursátiles provechosos. Así pues, sin esperarselo, Max se verá envuelto en una serie de sucesos que acabarán con su muerte.

la película se convirtió en una obra de culto, y recibió premios por su guión y su técnica de rodaje. Es interesante, para nosotros, ver  como se sostiene la tesis, que tantas veces repite el protagonista y el director, que las matemáticas es el lenguaje de las cosas. Se dejan al lector algunos fragmentos de la película:

Acerca de- Darren Aranofsky (Nueva York (EEUU), 1969), cineasta americano. Su obra es rica en temática y estilo. Algunos títulos suyos son Pi (1998), Requiem por un sueño (2000) y más próximos en el tiempo, El Luchador (2000) y Cisne negro (2010), ambas premiadas y bien recibidas por la crítica. Puedes saber más de él en los siguientes enlaces:

http://www.imdb.es/title/tt0138704/
http://www.philfilms.utm.edu/1/pi.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Darren_Aronofsky

Euclides (325-265 a.C.), matemático griego. Su obra Los Elementos, fue clave para el desarrollo de las matemáticas. A él se le debe no solo resultados notables en geometría y teoría de números, sino haber definido una forma de pensar basado en deducciones lógicas (proposiciones, teoremas) a partir de ciertas verdades evidentes (axiomas). Puedes saber más en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides

Curiosidades-Engañando a las máquinas

Cuando Bill Gates dijo que la inteligencia no está en los ordenadores sino en la cabeza humana que debe dirigir al ordenador, seguramente no estaría pensando que una forma de ilustrarlo era usando matemáticas (o a lo mejor sí). Por ejemplo, hemos visto ( o vemos o veremos) en los albores del Bachillerato  que existen métodos algebraicos para resolver ecuaciones que distan muchos de las técnicas de las ecuaciones lineales o cuadradas. Estos métodos generan soluciones falsas, las cuales tienen que ser comprobadas por el alumno. Aquí se muestra una imagen de una sesión de álgebra obtenida con el software algebraico Maxima (se recomiendo pinchar sobre la imagen):

Como vemos, hemos introducido una ecuación con incógnitas en el denominador (en la pantalla viene dada por las expresiones marcadas por un %i1 y %o1). Después  hemos realizado paso a paso los procesos de simplificación concretos: hemos eliminado los divisores después de factorizar las expresiones, eliminamos términos repetidos y resolvemos una ecuación cuadrática (que son las entradas precedidas por %o2 a %o8); posteriormente aparecen dos soluciones ,x=-3 y x=1 (%o9); obviamente una es falsa, si bien el ordenador la procesa como correcta a pesar de que, ejecutando el comando solve(), que consigue hallar la solución por fuerza bruta (prueba introducir varias expresiones de tal manera que algunas han de cumplir la igualdad dada) y después las incluye en unos corchetes (%o10), solo obtiene una solución, contradiciendo la conclusión del proceso anterior. Ojo, no se está sugiriendo que el software es inútil o defectuoso, lo contrario, goza de una eficacia notable, cosa que ha llevado a Maxima a implantarse en cursos académicos de Física, Química y Matemáticas en universidades de todas partes del mundo. Solo se prueba de que si hubiésemos elaborado un algoritmo con los pasos anteriores y diésemos por  correctas ambas soluciones, comprobación que un estudiante no tarda ni dos minutos en hacer, estaríamos cometiendo un error. 

Acerca de- Bill Gates (nacido en 1968 en Seattle, Washington, Estados Unidos), empresario y filántropo americano, cofundador de la empresa de Microsoft y creador del sistema operativo Windows, el más usado por usuarios de todo el mundo. Para saber más sobre él, puedes acudir a:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Gates

Bill Gates, imagen tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billgates.jpg)

Maxima, Sistema Algebraico Computacional (SAC), de libre distribución capacitado para la manipulación  simbólica de expresiones matemáticas, además de realizar cálculos numéricos, procedimientos de análisis de datos, cálculo diferencial e integral y representaciones gráficas de todo tipo. Puedes consultar más sobre su origen y desarrollo en:

http://maxima.sourceforge.net/es/

http://es.wikipedia.org/wiki/Maxima

logo de Maxima

Materiales-Buscadores de Historia de las Matemáticas

A la hora de buscar información matemática, podemos recurrir a la red, aunque a veces esta actividad sin guia se vuelve altamente frustrante. Una buena idea es recurrir a MacTutor, un buscador diseñado por la facultad de Ciencias de la Universidad de St. Andrews que dispone de muchísima información sobre matemáticas. Ojo, está en inglés y la presentación de la información es muy elevada, luego es recomendable para alumnos de 1º y 2º de Bachillerato.
Otra idea mucho más dinámica y apto para todo nivel es el Portal matemático diseñado por Wikipedia. Aquí la información está clasificada en muchas etiquetas y muy bien organizada, y las traducciones de los originales han sido revisadas, luego suele ser muy fiable.

Las direcciones web son:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

http://es.wikipedia.org/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica

Aspecto de la página principal de MacTutor

Materiales-Biblioteca de poliedros

El tema de los poliedros hace que siempre me plantee las siguientes preguntas:

¿Cuantos poliedros distintos existen? ¿Son infinitos?¿Son solo los regulares?

La verdad es que sobre la definción de poliedros se reflexiona, en general, muy poco durante nuestra enseñanza en el instituto y grados universitarios, y es una auténtica lastima, ya que son, posiblemente, los objetos matemáticos más bonitos que existen. 
Podríamos  responder diciendo que existen tantos como se quieran, pues en principio, un poliedro es una serie de polígonos en el espacio de tal manera que dos caras o no se cortan o se cortan en un único vértice en común o bien en una sola arista.
Pero si nos preguntan cuantos poliedros regulares hay exactamente hay cinco: el tetraedro, el hexaedro (o cubo), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, todos ellos terminados en regulares. También existen poliedros de tipo aristotélico (están formados por caras de dos tipos distintos de polígonos), pirámides, etc.Así pues, vemos que es muy importante definir el tipo de poliedro, ya que este determinará toda la definición espacial y geométrica de un poliedro.

Algunos poliedros; de izquierda a derecha, una macla de dos cubos, un icosaedro regular y un dodecaedro estrellado  (imagen extraida de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/Three_polyhedra.jpg?uselang=es)

Vemos en las siguientes páginas web, realizadas por R. Mäder, con un software exclusivo para la resolución de problemas de carácter matemático llamado, como no, Mathematica, algunos de los tipos de poliedros regulares e irregulares existentes, ya sean conexos (Tomo I) o bien estrellados de tipo icosaedrico (Tomo II). Podemos ver propiedades de estos como números de vértices, caras y aristas y una representación tridimensional de este (aunque a veces, deja mucho que desear). En resumen, una buena forma de introducirse en el estudio de los poliedros y sus propiedades.

http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/list-graph.html

http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/list-graph.html

applet- Teorema de Euler

Uno de los teoremas más bonitos de la geometría plana es el denominado Teorema de la recta de Euler. Este teorema dice que:

Dado un triángulo, su baricentro,su circuncentro y su ortocentro están alineados. Si H ( ortocentro), O (circuncentro) y  G (baricentro) no son un mismo punto, existe una sola recta que pasa por estos tres puntos de tal manera que la dista que va del baricentro hasta el ortocentro es el doble de la del baricentro al circuncentro.

Nos conviene recordar que el ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo ( las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo que pasan por el vértice opuesto a este), el baricentro es el punto de corte de las medianas y el circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de los lados un triángulo. Este teorema se debe al genial matemático suizo Leonard Euler, que parece en la imagen, y fue uno de los estudiosos más importantes del campo de la geometría, aparte de  muchas disciplinas matemáticas más.

Retrato del genial matemático Leonard Euler (Imagen tomada de  http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonhard_Euler_2.jpg?uselang=es)

Presentamos aquí un applet de Geogebra que ilustra este teorema y poder trabajar con nuestro ordenador. El triángulo al que se va aplicar este teorema. Las rectas entrecortadas son bisectrices, mediatrices y medianas. La recta roja es la recta de Euler. Si movemos los vértices A,B y C del triángulo vemos como la recta también se desplaza, cumpliendo las propiedades antes definida. ¿Hay algún caso especial para el cual este teorema no se cumpla? Intentar buscar uno.

Materiales-Geogebra, software de geometría dinámica

En algunos problemas, se nos pide una limpieza en la representación de los datos o del enunciado, en especial en Geometría, Geometría analítica y los primeros problemas de lo que llamamos Análisis y funciones.

Una herramienta bastante sofisticada y gratuita es Geogebra, un software usado en le estudio de la geometría dinámica ( aquella que manipula objetos geométricos) muy potente gráficamente hablando y que nos permite hacer tanto esquemas geométricos como representaciones de funciones con todo detalle. Es más, en las nuevas versiones, podemos elegir un entorno que nos selecciona las herramientas que vamos a usar según la actividad que realicemos.

Y también para ahorrarnos tiempo, ¡Hay funciones que a veces dudamos si seremos capaces de dibujarlas!.
Además la posibilidad de dibujar algo y poder modificarlo con un solo click del ratón hace que el trabajo rutinario y un poco pesado sea muy gratificante.
Aqui se presenta unas imágenes hechas con Geogebra (versión 4) como muestra ( muy pequeña) de lo que se puede hacer con este programa.

Imágenes realizadas con Geogebra versión 4  por el autor del blog

Otra ventaja de este programa, y muy en especial en el campo de la enseñanza, es que Geogebra funciona con unos comandos muy básicos y basados en los axiomas y principios de la Geometría básica y en definiciones que podemos encontrar en cualquier libro de texto de últimos años de la ESO hasta el Bachillerato, luego podemos reforzar los contenidos al trabajar pensando qué principio o axioma hemos de aplicar, induciendo de alguna manera al razonamiento axiomático que tan difícil es de trasmitir.

Puede descargarse gratuitamente en:

http://www.geogebra.org/cms/

Donde se puede encontrar más información acerca del programa, su funcionamiento, manuales, etc.