Curiosidades- Tres planos, tres muros y la sección aurea

Las preocupaciones en los fundamentos geométricos llevan a los matemáticos y artistas a reflexionar sobre ellos con un interés en ocasiones similares. El siguiente vídeo muestra algunos ejemplos del trabajo del escultor español Jorge Oteiza (1908-2003), que se encuentra en su museo (Alzuza, Navarra, donde se encontraba su casa y taller).

En su obra de los años 60-70 y 80-90, Oteiza usaba fundamentos matemáticos, en especial geométricos (geometría no-euclidiana, conceptos de cuerpos de revolución, volúmenes integrales, trayectorias, semejanza, variaciones consecuentes, etc. Se profundizará en estos conceptos en cursos universitarios, pero podemos ver su aplicación en las esculturas de una manera muy clara en el vídeo anterior) para intentar crear una escultura que se compusiera en vez de bloques tallados, de elementos tales como planos, rectas, etc para modelizar el vacío de su interior. Su trabajo, muy interesante desde el punto de vista matemático y estético, fue clave para la escultura española de finales del siglo XX.

Acerca de- Jorge de Oteiza Enbil (Orio (Guipúzcoa), 1908- San Sebastian (Guipúzcoa),2003), escultor español, figura clave de la llamada escuela de escultura vasca, a la que pertenecieron figuras como Eduardo Chillida. Su obra se caracteriza por su variedad formal y sus profundas implicaciones teóricas, destacando su estilo geométrico. Destacó además como poeta, director de cine, crítico de arte y filósofo. Puedes saber más de él y su trabajo en:

http://www.museooteiza.org/

http://es.wikipedia.org/wiki/Jorge_de_Oteiza

http://www.esculturaurbana.com/paginas/ote.htm

Jorge Oteiza, retrato tomado de http://www.esculturaurbana.com/paginas/ote.htm

Curiosidades- Piscinas, abejas, juegos y sobre todo, números.

Raramente se ven películas que traten íntegramente de matemáticas, si bien es un tema que últimamente vemos que aparece en series y producciones con demasiada frecuencia, o que la usen como argumento de la película  Por eso, se hace casi obligatorio hablar dela película Drowning by Numbers.

Cartel de la película, imagen extraída de http://en.wikipedia.org/wiki/File:Drowning_by_numbers.jpg

Realizada en el año 1988 por el director británico Peter Greenaway, uno de los genios del cine europeo, y con guión propio de una comedia negra, narra la curiosa historia de tres mujeres, llamadas todas Cissie Colpitts, siendo la abuela, madree hija de una extravagante familia, que llegado el momento en que se aburren de sus respectivos maridos, los ahogan en una piscina. El coronel de policía Madgett se ve obligado a explorar el mundo de esta curiosa familia e intentar revelar la identidad los asesinos.
La película cuenta con una fotografía y guion interesante  pero además es muy entretenido  ver que todas las escenas del largometraje se construyen teniendo en cuenta los conceptos de simetría, recurrencia y medida. Un caso interesante es la presencia de los números naturales del 1 al 100, que marcan en la películas reglas, tiempos, escenas, etc. Aparecen como fondos, elementos (abejas, estrellas) o bien los pronuncia los protagonistas. Otra es la obsesión del hijo del coronel, Smut, que elabora juegos basados en reglas muy antiguas, donde predomina el conteo y la geometría. Todo esto aderezado con situaciones semejantes a un cuento de hadas.

Pero no solo vemos matemáticas, también las oímos. La banda sonora, compuesta por Michael Nyman, se basa en melodías elaboradas por procesos derivados de la simetría en la composición. Su estilo, marcado por sonidos repetitivos, de aspecto ordenado y muy elegantes, con un toque mozartiano, hace que la película sea digna de ver.

Aquí os dejo un trailer de la película y un fragmento de la cinta, en la que se ve ese interés por los números de la que se hablaba y desde este blog se quiere trasmitir.

Acerca de- Peter Greenaway (nacido en el año 1942, en Newport, Gales), director de cine y guionista británico. Su estilo personal ha destacado en la industria del cine europea. Puedes saber más de él en:

http://www.petergreenawayevents.com/petergreenaway.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Peter_Greenaway

Peter Greenaway, imagen tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Peter_greenaway.jpg

Michael Nyman (nacido en 1944 en Stratford (Londres), Inglaterra) pianista, compositor musicólogo y crítico, fue uno de los pioneros del movimiento minimalista musical. Además de las bandas sonoras paras las películas de Peter Greenaway, su fama se debe a la película The Piano, de Jane Campion (1993). Puedes saber más visitando los siguientes enlaces:

http://www.michaelnyman.com/

http://www.opusmusica.com/017/nyman.html

Michael Nyman, imagen obtenida de http://maizarte2.blogspot.com.es/search/label/Michael%20Nyman  

Curisidades- Matemáticas en Technicolor

Actualmente, disponemos de muchos medios para aprender geometría. Tenemos sofisticados programas, algunos incluso de carácter gratuito como Geogebra, libros de texto ampliamente ilustrados e incluso material audiovisual. Hoy vamos a ver uno antiguo, pero que nos parecerá sorprendentemente moderno. 

Se trata del libro The First Six books of The Elements of Euclid del matemático e ingeniero británico Oliver Byrne ( en la foto). La obra, publicada en 1847, tenía como objetivo principal, presentar los postulados básicos de Geometría, que nosotros aprenderemos en los cursos de la ESO correspondientemente en 3º y 4º, y veremos analíticamente en 1º de Bachiller, sin usar una sola expresión matemática. El libro está escrito en formas de diagramas geométricos e ilustrados con cuatro colores, una idea asombrosa y muy atractiva visualmente. Muchos artistas como Piet Mondrian, Max Bill o Victor Vasarelly se han referido al texto de Byrne como una de sus fuentes de inspiración.

Retrato de Oliver Byrne, extraido de http://mathdl.maa.org/mathDL/19/?pa=reviews&sa=viewBook&bookId=71359

Mirando rápidamente las páginas de una versión digital que proponemos en el siguiente enlace:

 http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html

Vemos como el autor trabaja con los elementos de Geometría (ángulos, rectas, triángulos,segmentos,etc) comos si estuviesen animados, y realiza operaciones con ellos, sin tener que recurrir a incógnitas o al temido en los primeros cursos, lenguaje de segmentos (AB con una raya por encima, o  [A,B] para designarlo, etc). Es una buena, y muy bonita, introducción al estudio de la Geometría Básica y un perfecto ejercicio de intuición espacial. Como anécdota, podemos señalar que la editorial de libros de arte Taschen ha vuelto a realizar una edición de la obra de Byrne. 

En el enlace debajo de la foto hay una pequeña biografía de Byrne y una nota detallada sobre la nueva edición de este bello libro.

Ejemplo del libro de Byrne en la que se demuestra el Teorema de Pitágoras (extraido desde http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Byrne_1847_Pythagoras_Querformat.jpg)

Curiosidades-Geometría de la lámina de goma, pompas de jabón y hormigas

Durante los últimos 200 años, grandes nombres de las matemáticas se preguntaron cuantas geometrías hay. En la actualidad, tenemos una gran variedad de planteamientos y geometrías tales como la geometría hiperbólica, las analíticas, la denominada geometría diferencial, la geometría proyectiva... En fin, diversos mundos llenos de preguntas, rompecabezas y resultados asombrosos.

Estos resultados se escapan mucho de nuestro nivel, pero hay ejemplos que podemos entender y son muy bellos. Los dos que vamos a ver, son clásicos de la geometría topológica, aquella que estudia propiedades de los objetos que no varían a pesar de que deformemos el objeto.

   

Superficies orientables y la estructura del universo-

Un clásico en el estudio de estas geometrías es el estudio de superficies orientables. El ejemplo más famoso es la banda o cinta de Möbius, la cual puede verse en una representación gráfica aquí abajo:

Cinta de Möbius (Tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:MobiusStrip-01.png?uselang=es )

También la vemos en un grabado del artista holandés M. C. Escher, en el que aparecen unas hormigas; básicamente consiste en una banda quien tiene sus extremos unidos tras haberle dado una vuelta. Si recorremos un camino de esta cinta, veríamos que pasaríamos por las dos caras de la cinta, tal como hacen las hormigas del dibujo.

"Möbius Strip II"- Tomada de  http://www.mcescher.com/ 

Las superficies también pueden sufrir  otras deformaciones. Por ejemplo, pensemos en una lámina de goma, como la de una cama elástica. Ahora, vamos a poner en la lámina un objeto pesado, tal que deforme la lámina. Si dejamos rodar un objeto más ligero por la lámina deformada, vemos que trazará una trayectoria que le lleve hasta el objeto más pesado. Este ejemplo, aparentemente sencillo, puede entenderse como un modelo físico de las teorías de Einstein sobre el espacio, el tiempo y la gravedad. La lámina de goma es el espacio- tiempo. No solo en el estudio astronómico y cosmológico; las superficies elásticas explican muy bien los problemas planteados por las ciencias de los materiales, el estudio de campos eléctricos y gravitatorios en física teórica o explicar la formación de las cadenas del ADN.

Superficies mínimas y las pompas de jabón-

Otro campo de estudio fascinante y cuyos resultados generan unas imágenes muy bonitas es el estudio de la superficie mínima. Recurramos a un ejemplo muy bonito propuesto por el físico y matemático Joseph Plateau, del cual podemos saber algo en: http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Antoine_Ferdinand_Plateau

Imaginemos que tenemos un recipiente que contiene agua con jabón y un alambre. Si formamos un círculo con el alambre y lo introducimos en el agua con jabón, vemos que se ha formado un círculo de jabón. Si soplamos, tenemos una pompa. La película de jabón formada dentro del círculo se denomina superficie mínima. Si introducimos en el agua jabonosa una forma cúbica hecha con alambre, tenemos que se forma un cubo. Esto se debe a que la formación de estas capas requiere energía, y al contraerse la superficie, el gasto energético es menor.

En los siguientes videos tenemos unos ejemplos más sofisticados de cómo se forma estas películas.

Que han sido extraídos de: http://topologia.wordpress.com/2009/04/22/pompas-de-jabon/

En esta dirección se pueden ver muchos más.

Este experimento sencillo suscitó el interés en el estudio de las superficies mínimales, que son aquellas superficies cuya tales que el área que las define es, numéricamente, muy pequeña y están limitadas por una curva cerrada ( podemos entender esto con una imagen visual, la de una barandilla sin aperturas). Lo bueno de estos cuerpos es que, aunque no estemos a un nivel conceptual para tratarlos y entenderlos, sí podemos disfrutar de ellos. En el siguiente enlace se presentan varias representaciones artísticas de superficies mínimas propuestas por el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Indiana:

http://www.indiana.edu/~minimal/gallery/index/index.html