applet- Teorema de Euler

Uno de los teoremas más bonitos de la geometría plana es el denominado Teorema de la recta de Euler. Este teorema dice que:

Dado un triángulo, su baricentro,su circuncentro y su ortocentro están alineados. Si H ( ortocentro), O (circuncentro) y  G (baricentro) no son un mismo punto, existe una sola recta que pasa por estos tres puntos de tal manera que la dista que va del baricentro hasta el ortocentro es el doble de la del baricentro al circuncentro.

Nos conviene recordar que el ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo ( las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo que pasan por el vértice opuesto a este), el baricentro es el punto de corte de las medianas y el circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de los lados un triángulo. Este teorema se debe al genial matemático suizo Leonard Euler, que parece en la imagen, y fue uno de los estudiosos más importantes del campo de la geometría, aparte de  muchas disciplinas matemáticas más.

Retrato del genial matemático Leonard Euler (Imagen tomada de  http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonhard_Euler_2.jpg?uselang=es)

Presentamos aquí un applet de Geogebra que ilustra este teorema y poder trabajar con nuestro ordenador. El triángulo al que se va aplicar este teorema. Las rectas entrecortadas son bisectrices, mediatrices y medianas. La recta roja es la recta de Euler. Si movemos los vértices A,B y C del triángulo vemos como la recta también se desplaza, cumpliendo las propiedades antes definida. ¿Hay algún caso especial para el cual este teorema no se cumpla? Intentar buscar uno.

applet- Alturas en triángulos equiláteros e isosceles

Durante nuestro aprendizaje de geometría en los cursos más elementales, deberíamos de tener en mente una idea previa que nos será muy útiles para resolver algunos problemas. Cuando trazamos la altura de un lado de un triángulo equilátero, es decir, la recta que pasa por el vértice y es perpendicular al lado opuesto a este, la recta divide al lado en dos segmentos de la misma longitud. En caso de ser un triángulo isósceles, la altura del lado desigual también divide a este en dos segmentos iguales. Esta idea subyace de que el vértice opuesto, en ambos casos, está a la misma distancia de los extremos del intervalo, luego será un punto de la mediatriz del segmento ( es decir, un punto de la recta perpendicular de un segmento que lo divide en dos y todos sus puntos están a la misma distancia de los vértices del segmento). Así pues, por la definición que pase por su punto medio es obvio.

Nota: No me cansaré de repetir, solo para triángulos equiláteros e isósceles en el caso de que tracemos la altura del lado desigual.

Podemos ver esto en el siguiente applet de Geogebra. Si movemos los vértices azules, vemos cómo varían los lados del triángulo que tiene por extremo al vértice opuesto. Podemos construir un triángulo equilátero si hacemos coincidir los puntos... Espera, responde a esto tú.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com