Curiosidades- Ahora que vienen los exámenes...

Esta época del año suele ser la decisiva para acabar bien o no el curso. Los exámenes son una realidad inminente y saber hacerles frente a ellos es aprobar y acabar con muchas preocupaciones. Un examen es 2% suerte y el resto estudio. Si se ha trabajado la materia, hacerlo es un paso bastante grato. Eso sí, cuando vamos al examen ¡Nos ponemos todos nerviosos! Como bien demuestra Mr. Bean, entender las reglas del examen es vital para aprobar.

Esquema- Determinar una asíntota horizontal u oblicua

Este esquema intenta señalar cómo identificar asíntotas horizontales u oblicuas ( Aquellas para las cuales x tiende a infinito o menos infinito) de funciones racionales.

Diagrama de flujo que muestra cómo identificar asíntotas horizontales u oblicuas.

Esquema- representación de una función

Cuando se nos pide representar una función (generalmente polinómica o racional; es un ejercicio muy usual durante el Bachillerato), hemos de seguir una serie de pasos para evitar complicaciones o no dibujarla bien. Este es un ejercicio interesante para adquirir buenos hábitos como matemáticos, ya que nos hace ser consecuentes, cuidadosos y ciertamente detallista. 

Para representar una función, f(x), generalmente racional o polinómica, hemos de hacer lo siguiente:

1. Hallamos su dominio ( los valores de x para los cuales la función existe).

2. Si existen, hallamos los puntos de discontinuidad (aquellos para los cuales la función presenta una discontinuidad de tipo un salto finito o infinito.

2.1 Definimos en estos puntos las asíntotas verticales de la función. Si existe una discontinuidad de tipo salto infinito en el punto  de abscisa a, tendremos que la ecuación de esta asíntota es x=a. Si es una discontinuidad de tipo salto finito, en la gráfica se representa como un punto vacío.

3. Hallamos las ecuaciones de las asintotas horizontales. 

3.1 Recuerda que pueden ser ramas parabólicas, asíntotas oblicuas o asíntotas horizontales. 

4. Hallamos la dervada de la función, y buscamos aquellos puntos x para los cuales es 0.

4.1 Si existen, los clasificamos como máximos, mínimos y puntos de inflexión.

5. Si no existen puntos de discontinuidad, hallamos algunos puntos importantes para entender la función (puntos de corte con los ejes de coordenadas, aquellos cuya ordenada, f(x), es fácil de calcular, etc). Ojo, en caso de que la función sea compleja, hallar estos puntos nos facilitará su dibujo. Deberíamos hallarlos aunque tengamos definidos los extremos.

Y ya, por fin, hacemos un dibujo de la función, indicando con detalle las asíntotas que hemos obtenido y los puntos de inflexión.

Para ver estos pasos con más claridad podemos realizar el siguiente diagrama de flujo, que nos muestra cómo realizar la gráfica de una función con los pasos anteriores. Tal como se define, este diagrama muestra que operaciones hacer en cada momento según la situación del problema. En 2º de Bachillerato aprenderemos a determinar cuando una función es cóncava o convexa. 

Diagrama de flujo que nos muestra el proceso de dibujar la gráfica de una función f(x) utilizando los pasos anteriores.

Vídeos- Regla de la cadena

En numerosas ocasiones, al realizar la derivada de una función, nos encontramos con la regla de la cadena. En este vídeo de Unicoos, nos ofrecen múltiples ejemplos de cómo aplicar esta a funciones de diverso tipos. Si bien está pensado para 2º de Bachillerato, no viene nada mal que un alumno de 1º de Bachillerato intentase seguir los razonamientos del profesor, comprensibles con un poco de conocimiento sobre la derivada de una función y el uso de las principales reglas de derivación.

Curiosidades- A la caza de números primos. GIMPS

Una tarea pendiente para los matemáticos es encontrar un patrón para los números primos, que hasta hoy no ha habido método alguno de resumirlo en una sola ecuación. Uno de los ejemplos más interesantes en esta ingente búsqueda es el movimiento llamado The Great Internet Mersenne Prime Search, en el que interviene los pensamientos sobre números de un matemático francés del siglo XVI y las siempre sorprendentes propiedades de Internet. 

Esta curiosa historia comienza con la definición de primo de Mersenne. Todo número p natural que sea primo ( por ejemplo, 2,3,5,7...) el número 2 elevado a p -1 será también primo. Para los primeros valores de p, los resultados son claramente números primos son , pero cuanto más crece p, más difícil se hace su factorización . Además, hay casos, como, por ejemplo, cuando p=11, que el número resultante no es primo, a pesar de que el exponente sí lo es. 

Esta curiosa definición la propuso el matemático francés Marin Mersenne (1588-1648) y en la actualidad se usa para elaborar complejos métodos para identificar números primos con muchas cifras.

Marin Mersenne. Imagen extraída de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Marin_mersenne.jpg

Bajo esta idea, George Woltman creó el proyecto conocido como The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), traducido en páginas y revistas especializadas de habla hispánica como la Gran búsqueda de números primos de Mersenne,que se puede definir como la creación de una gran red colaboradora en la que los ordenadores personales de los voluntarios que participan en el proyecto (cualquiera que quiera participar solo ha de descargarse el software que facilita la asociación en su página web, en la que el ordenador trabaja en sus tiempos muertos actuando como salva pantallas  trabajan en paralelo con el fin de emular las capacidades de un superordenador. Con ello, se pretende realizar cálculos de factorización para la búsqueda de estos curiosos números primos. 

Este proyecto encontró desde su comienzo en el año 1997 hasta agosto del 2009, un total de doce de los 47 números primos de Mersenne conocidos en su momento. El GIMPS suscito la creación por parte de la organización Electronic Frontier Foundation (EFF) de un premio de 150.000 dólares al primero que descubriese un número primo de Mersenne con un mínimo de diez millones de cifras. Pese a la apariencia sencilla del problema planteado, encontrar un número de este tamaño y verificar que es primo, es una tarea que requiere gran conocimiento de matemáticas avanzadas y muchas horas de trabajo. En agosto de 2008, un matemático de la UCLA, Edson Smith, gano el primer concurso por el descubrimiento del número 2 elevado a 43.112.609 y a todo él le restamos uno, que contiene aproximadamente los trece millones de cifras, el más grande del momento. Puedes saber más sobre este tema en los siguientes enlaces:

http://www.mersenne.org/

http://es.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search

http://mersenne.org/various/57885161.htm

http://www.math.ucla.edu/~edson/prime/

http://www.today.ucla.edu/portal/ut/081008_mersenne-prime.aspx

Recientemente, se han descubierto dos primos de Mersenne, cada uno con 17 millones de cifras.

Acerca de- Marin Mersenne (1588-1648), matemático, filósofo y religioso francés  Realizo interesantes investigaciones en la teoría de números, geometría y física. Algunas obras importantes suyas son Cuestiones teológicas, físicas, morales y matemáticas (1634) o Armonía universal (1636). Además, fue el primero en crear un canal de comunicación europeo; en su celda del monasterio de la Anunciación (París), se encontraron documentos que mostraban que mantenía abiertas 78 lineas de correspondencia,  entre otras tantas, de investigación con pensadores claves como Descartes, Galileo, Pascal, Fermat o Torricelli.

Curiosidades- ¿Para que me sirve derivar?

Es muy usual, cuando un alumno de primero de Bachiller se adentra en el concepto de derivada, que oiga por parte de su profesor la siguiente expresión: Bueno, el concepto de derivada es muy importante. Muchísimas aplicaciones depende de él. 

Y en segundo de Bachiller, tras estudiar con más detalle la definición de velocidad instantánea, aceleración instantánea  potencial de una carga eléctrica  etc. le dicen: Aparte de las aplicaciones que ya conocéis la derivada [ y en ocasiones menciona también a la integral], sirve para otro montón de cosas. 

Y es totalmente cierto; el concepto de derivada es fundamental para la ciencia y la tecnología actuales. Sus aplicaciones son numerosas. Para bosquejar la importancia de este concepto, daremos una lista de aplicaciones de la derivada según que campos. Esta ha sido extraída en su mayoría del texto Cálculo: conceptos y contextos de James Stewart, pero la podéis ampliar todo lo que queráis.

1. Ingeniería

• Determinar el centro de gravedad de una estructura compleja.

• Determinar la presión que puede aguantar una construcción ejercida por medios externos

• Estudiar la resistencia de los materiales de construcción.

• Elaboración de modelos informáticos de fenómenos complejos utilizando la integración y derivación numérica.

2. Electromagnetismo (rama de la Física que estudia la electricidad)

• Determinar el potencial eléctrico de una carga.

• El valor de un campo magnético en una superficie.

• Hallar la corriente inducida (fem) en un circuito continuo debido a un campo magnético.

3. Dinámica y cinemática (ramas de la Física que estudia el movimiento y la fuerza)

• Determinar la aceleración o velocidad de un cuerpo con una trayectoria dada con un movimiento determinado.

• Determinar el trabajo, energía o potencia de un sistema de uno o varios cuerpos.

• Calcular el centro de masas de un sistema de partículas o un cuerpo.

4. Medicina

• Calcular la velocidad de la sangre que corre a través de un tipo de vena concreta (utilizando un fenómeno físico conocido como ley del flujo laminar).

• Estudiar el crecimiento de una población de bacterias o virus en un entorno controlado.

• Estudio de la forma de tumores y su modelado por ordenador.

5. Economía

• Determinar el coste que ha de asumir una empresa para elaborar un producto (función de costo) con respecto a  las posibles ganancias.

• Estimación de indicadores económicos para la elaboración de productos bursátiles destinados a la bolsa.

6. Sociología

• Conocer la extensión de un rumor en una sociedad según el tiempo transcurrido (velocidad de transmisión del rumor).

• Determinar el crecimiento en curvas de aprendizaje (representación gráfica del rendimiento de una persona, P(t), en función del tiempo t, transcurrido durante su aprendizaje) para valorar modelos educativos.

Esquemas- Cuadro resumen inecuaciones

Este esquema recoge las principales características de las inecuaciones que se ven en 4º de la ESO ( y conviene tener presentes en Bachillerato).

Hecho por el autor.

Vídeos- Indeterminaciones de tipo 0/0 e infinito/infinito.

Los límites nos ayudan a resolver indeterminaciones. Estos vídeos nos muestran cómo resolver dos tipos de indeterminaciones muy frecuentes, la indeterminación de tipo 0/0 e infinito/infinito.

Vídeos- Límites con el número e

Dentro de la teoría de límites de 1º y 2º de Bachillerato, nos encontramos con la indeterminación 1 elevado a infinito usando la definición del número e. Estos vídeos nos muestran con dos ejemplos muy detallados cómo resolverlos a partir de la definición y con límites.
Observad bien en las correcciones que hace y en las explicaciones sobre los resultados de sus límites.

Presentación- Valor absoluto de una función; ejercicios

El concepto de valor absoluto de una función da mucho juego para ejercitarse en el estudio del dominio de una función, ejercicios de intervalos, etc. Se presentan aquí tres ejercicios tipo que nos podemos encontrar en 1º de Bachillerato y el comienzo de 2º de Bachiller en el temario de análisis.

Se recomienda al lector que corrobore los cálculos a mano que aparecen en estas diapositivas.

Ejercicios valor absoluto from Alemaiza

Vídeo- Funciones con Geogebra

Con Geogebra instalado, podemos representar funciones muy complejas de una forma muy sencilla sin tener que poseer muchos conocimientos de programación. Este vídeo nos enseña cómo hacerlo de una forma muy sencilla, además de editar las gráficas, ponerles nombre, etc. ojo; lo que nos interesa, introducir gráficas y editarlas, se corresponde con los primeros 5 minutos del vídeo. El resto hace referencia a conceptos muy difíciles de entender (insertar funciones en Latex, hacer cálculos etc.).

Vídeo- Ejercicios sobre discontinuidades

Las discontinuidades son un conocido (a veces muy desagradable) para todo estudiante de primero de Bachillerato. Este vídeo de Unicoos muestra cómo enfrentarse a ellas usando la definición de asíntota.

Curiosidades- Agora y el cono de Apolonio

El cine no suele ser referencia exacta y fiable de acontecimientos históricos y razonamientos científicos; esto se podría considerar axiomático. No obstante en ocasiones se muestran ideas o artefactos muy curiosos; un buen ejemplo de ello lo encontramos en la película de Alejandro Amenabar Agora, una no muy acertada recreación de los últimos y convulsos años de vida de la matemática y filósofa griega Hipatia de Alejandria pero muy interesante y estéticamente hablando una maravilla, interpretada por la actriz Rachel Weiz. En ella, podemos ver en acción un instrumento muy interesante; un cono de Apolonio.

Cono de Apolonio desmontado. Imagen tomada de www.artmadera.com

Llamado así por el matemático Apolonio de Perga (262-190 a.C.), se trata de un cono de madera de diversos colores en los que se ha practicado una serie de cortes, correspondiéndose cada uno con las cuatro formas posibles de sección que nos permiten formar las curvas cónicas (elipse, circunferencia, parábola e hipérbola, pero de esta, solo una de las dos curvas que la forman).

En el fragmento de la película vemos como se identifica cada curva cónica con un fragmento determinado del cono. Prestar atención a la distinción entre parábola e hipérbola. Son muy semejantes físicamente, pero las propiedades geométricas de estas dos cónicas distan mucho entre sí.

En este otro podéis ver con más calma cómo se descompone un cono de Apolonio; os sugiero que intentéis identificar antes de ser mostrada, la curva que aparecerá.

Acerca de- Apolonio de Perga, (262-190 a.C.) matemático y astrónomo griego, conocido especialmente por su trabajo Sobre las secciones cónicas y El Gran Geómetra. A él le debemos, entre sus múltiples aportaciones, los nombres de las curvas cónicas que usamos en la actualidad: parábola, elipse e hipérbola.

Hipatia de Alejandria, (355 ó 370-415 ó 416) matemática y filósofa griega. Aunque no se conserva su obra,se cree que escribió sobre geometría, astronomía y álgebra, además de mecánica y astronomía.

Chistes matemático-lógicos

Una interesante forma de aprender sobre las diferentes funciones elementales... Imagen extraída de https://www.facebook.com/IFeakingLoveScience

Materiales- Cómo instalar Geogebra

En esta entrada vamos a ver cómo podemos hacernos con el programa Geogebra para poder empezar a trabajar con él. Aprender a usarlo nos ayudará en nuestro aprendizaje de las matemáticas. Además, es muy fácil de usar. Vamos a describir los pasos a seguir ilustrándolos con imágenes.

Empezamos; para instalar Geogebra hemos de seguir los siguientes pasos.

1. Nos dirigimos a la dirección web:

                                                http://www.geogebra.org/cms/

2. Lo primero que veremos será una gran portada con una ilustración hecha con el  programa ( que suele cambiar muy a menudo ) y un gran botón verde que pone Descarga. Hacemos doble clic en el. También hay enlaces a vídeos, materiales en pdf, foros, etc. De momento, no prestaremos atención a eso. 

3. Una vez hecho, se nos dirige a otra página. En esta vemos dos botones, uno que pone Webstart debajo de la cabecera de TeleInicio (Inicio Web) y otro botón, debajo de la cabecera Inicio de Aplicación/Applet, que se llama Applet Start. Para descargar el programa ( siempre será la versión actualizada, en este caso la 4.2) y usarlo desde nuestro escritorio (se creará automáticamente un icono) hemos de pinchar en la primera opción. La segunda nos permite usar una aplicación de Geogebra en la red, pero no instalará nada en nuestro equipo. Ojo, para acceder a ella hemos de tener instalado el buscador Google Chrome.

4. Al pinchar en el botón Webstart se descargará un ejecutable, un programa que nos solicitará instalarlo, le damos a todo aceptar y se ejecutara. Al final, en nuestro escritorio aparecerá un icono, que al pinchar sobre él abrirá el programa.

5. Nada más terminar  de instalar le programa aparecerá una pantalla avisándonos que este programa no se ejecuta desde una dirección no pública, pudienso producirse fallos. En principio, esto no da problemas si tenemos un antivirus instalado, y menos si no estamos conectados a Internet, luego obviaremos este mensaje dando siempre a Ejecutar. Este mensaje aparecerá cada vez que usemos el programa. Podemos impedir que aparezca si antes de elegir, marcamos la casilla que pone Confiar siempre en el contenido de este publicador.

6. Si tenemos instalado una versión de Geogebra anterior a lo que nos descargamos, el programa nos informará de que hemos de actualizarla. En ese momento aparecerá un pequeño cuadro  que se llama Advertencia de Asociación,en la cual hemos de pinchar, si queremos la nueva versión, la opción Aceptar. 

Vídeo- Respaso producto escalar,vectorial y operaciones con vectores

La geometría vectorial presenta una gran cantidad de conceptos que hemos de tener previamente claros para poder trabajar en los problemas que se nos planten si dificultades. Este vídeo repasa de una manera muy cierta las definiciones de producto escalar, vectorial y operaciones básicas de suma de vectores. Es muy recomendable para 1º y 2º de Bachillerato.

Curiosidades- Euler el Mago

El nombre de Leonard Euler es usual y frecuente en el aprendizaje de las matemáticas, acompañándonos desde nuestros primeros pasos en los números (recta de Euler, teorema de Euler-Descartes, etc), hasta el Bachillerato e incluso la Universidad. Y es que es en verdad que Euler fue uno de los matemáticos más productivos y originales de la historia de esta ciencia. No es de extrañar que sus contemporáneos le apodaran el Mago. Sus resultados muestran que en verdad hacía auténticos malabares y trucos con las matemáticas; relacionó el movimiento de los fluidos con las ecuaciones y las derivadas, consiguió hallar una explicación para el problema de los siete puentes usando una herramienta nueva (la teoría de grafos) y logró deducir que el resultado de la suma de una serie de potencias depende del número pi, entre otras cosas. Para acercarnos un poco más a algunos de estos resultados, dejo aquí un episodio dedicado a este genio de los números de la producción española Universos Matemáticos, muy entretenida y curiosa. Después de verla, creo que se considerará que a Euler solo le faltaba decir abracadabra cada vez que elaboraba alguna de sus teorías.

Acerca de- Leonard Euler (1707-1783) matemático y físico suizo. Desarrollo gran parte del corpus matemático moderno (destacar sus contribuciones en óptica  geometría, análisis matemático) además de establecer gran aparte de la notación actual. Algunas de sus obras más importantes son Introductio in analysis infinitorum (1748), Institutiones calculi differentialis (1755) e Institutiones calculi integralis (1768).  

Curiosidades- Números y números primos

Un reto fascinante para los matemáticos es el estudio de los números primos, de los que ya se ha hablado (y se seguirá haciendo) aquí. Los mejores matemáticos de la historia han buscado entender cómo se manifiestan estos curiosos números, que os reconocemos por la propiedad de ser divisibles únicamente por sí mismo y la unidad (por ejemplo, dentro del conjunto de los números naturales, tenemos que son primos el 2, 3, 5, 7, 11, 13...) Lo que a mejor desconocemos es la presencia tan marcada en el mundo y la infinitud de curiosidades que poseen estas cifras. La serie documental La música de los números primos, basada en la obra del popular profesor de matemáticas Marcus du Satoy (el cual también produce y narra este documental con mucha gracia y acierto), nos acerca un poco al universo de estos curiosos entes matemáticos.

Acerca de-Marcus Du Satoy (Inglaterra, 1965) periodista, escritor y profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford, se hizo famoso por su trabajo de divulgación de las matemáticas, tanto por sus libros La música de los números primos, Simetría: un viaje a los patrones de la naturaleza y Los misterios de los números así como en sus series para la BBC.

Curiosidades- El número aureo

¿Qué tienen que ver las dimensiones de nuestro DNI, las obras del artista español Salvador Dalí, la distribución de las semillas de los girasoles, la forma de las galaxias y las melodías de las piezas de música clásicas y modernas? Cómo vemos en este capítulo del programa de divulgación REDES, presentado por Eduard Punset, es la presencia del número áureo. Aquí esta entero, luego armaós de paciencia.

Curiosidades- Hilbert, dulce Hilbert

La definición de infinito, que vemos en el Bachillerato, causó numerosas confusiones y paradojas en el ámbito matemático en los primeros intentos de definirlo, y también fuera de él. Una de las paradojas del infinito más interesantes es la que planteó el genial matemático alemán David Hilbert, conocida como la paradoja del hotel infinito de Hilbert.

Esta consta de dos elementos muy singulares. Un hotel con infinitas habitaciones, numeradas con números naturales (1,2,3,...) y un gerente que se jacta de no haber dejado nunca un cliente sin atender. Una desapetecible noche, cuando las habitaciones del hotel están ocupadas, se presenta un cliente que no había echo reserva. el gerente sugiere a los clientes ya instalados que se pasen a la habitación contigua de la que están (el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4 etc) dejando la primera habitación al recién llegado. Pero no es solo el único contratiempo sufrirá nuestro gerente; a medianoche, el encargado le informa que ha llegado una autobús con un número infinito de matemáticos (que por cierto,son infinitamente exigentes) para asistir a un congreso que se celebra en la ciudad. El encargado está aterrorizado ya que piensa que será imposible alojarlos a todos. Después de reflexionar unos instantes, nuestro dedicado anfitrión sugiere: " Hemos de pedirles un favor a nuestros clientes. Cada uno de ellos debe multiplicar por dos el número de la habitación en la que se aloja y trasladarse a la que tenga por resultado de la operación." Así pues, el que se aloja en la 4 pasa  a la 8, el de la 23 a la 46, el de la 71 a la 142... El gerente ha dejado libre aquellas habitaciones con número impar, que cómo sabemos, es un conjuntó con cardinal infinito (nadie ha hallado el último número impar) y lo más importante, ha dado cobijo  y cena a nuestros fatigados matemáticos. 

Este curioso reto se sustenta en el que es imposible dar un número a lo que denominamos infinito, luego podemos considerar que nuestro hotel no tiene una habitación final. El siguiente vídeo, realizado por profesores de la Open University, nos ofrece la explicación gráfica (y con más humor) de esta curiosa paradoja que nos permite entender un poco los quebraderos que provoca la definición de infinito. Esta en inglés, pero es fácil de entender y muy entretenida.

Acerca de- David Hilbert (1862-1943), matemático alemán, famoso por llevar grandes proyectos de consolidación de las matemáticas modernas y sus numerosas contribuciones al pensamiento matemático. Citando algunas de ellas: axiomatización de la geometría, lógica matemática, análisis matemático, estudios sobre las matemáticas de la mecánica cuántica, etc.

Fotografía de David Hilbert, tomada de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Hilbert.jpg