Durante los últimos 200 años, grandes nombres de las
matemáticas se preguntaron cuantas geometrías hay. En la actualidad, tenemos
una gran variedad de planteamientos y geometrías tales como la geometría
hiperbólica, las analíticas, la denominada geometría diferencial, la geometría
proyectiva... En fin, diversos mundos llenos de preguntas, rompecabezas y
resultados asombrosos.
Estos resultados se escapan mucho de nuestro nivel, pero hay
ejemplos que podemos entender y son muy bellos. Los dos que vamos a ver, son
clásicos de la geometría topológica, aquella que estudia propiedades de los
objetos que no varían a pesar de que deformemos el objeto.
Superficies orientables y la estructura del universo-
Un clásico en el estudio de estas geometrías es el estudio
de superficies orientables. El ejemplo más famoso es la banda o cinta de
Möbius, la cual puede verse en una representación gráfica aquí abajo:
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| Cinta de Möbius (Tomada de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:MobiusStrip-01.png?uselang=es ) |
También la vemos en un grabado del artista holandés M. C.
Escher, en el que aparecen unas hormigas; básicamente consiste en una banda
quien tiene sus extremos unidos tras haberle dado una vuelta. Si recorremos un camino de
esta cinta, veríamos que pasaríamos por las dos caras de la cinta, tal como
hacen las hormigas del dibujo.
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| "Möbius Strip II"- Tomada de http://www.mcescher.com/ |
Las superficies también pueden sufrir otras deformaciones. Por ejemplo, pensemos
en una lámina de goma, como la de una cama elástica. Ahora, vamos a poner en la
lámina un objeto pesado, tal que deforme la lámina. Si dejamos rodar un objeto
más ligero por la lámina deformada, vemos que trazará una trayectoria que le
lleve hasta el objeto más pesado. Este ejemplo, aparentemente sencillo, puede
entenderse como un modelo físico de las teorías de Einstein sobre el espacio,
el tiempo y la gravedad. La lámina de goma es el espacio- tiempo. No solo en el
estudio astronómico y cosmológico; las superficies elásticas explican muy bien
los problemas planteados por las ciencias de los materiales, el estudio de
campos eléctricos y gravitatorios en física teórica o explicar la formación de
las cadenas del ADN.
Superficies mínimas y las pompas de jabón-
Otro campo de estudio fascinante y cuyos resultados generan
unas imágenes muy bonitas es el estudio de la superficie mínima. Recurramos a
un ejemplo muy bonito propuesto por el físico y matemático Joseph Plateau, del
cual podemos saber algo en: http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Antoine_Ferdinand_Plateau
Imaginemos que tenemos un recipiente que contiene agua con
jabón y un alambre. Si formamos un círculo con el alambre y lo introducimos en
el agua con jabón, vemos que se ha formado un círculo de jabón. Si soplamos,
tenemos una pompa. La película de jabón formada dentro del círculo se denomina
superficie mínima. Si introducimos en el agua jabonosa una forma cúbica hecha
con alambre, tenemos que se forma un cubo. Esto se debe a que la formación de
estas capas requiere energía, y al contraerse la superficie, el gasto
energético es menor.
En los siguientes videos tenemos unos ejemplos más
sofisticados de cómo se forma estas películas.
Que han sido extraídos de: http://topologia.wordpress.com/2009/04/22/pompas-de-jabon/
En esta dirección se pueden ver muchos más.
Este experimento sencillo suscitó el interés en el estudio
de las superficies mínimales, que son aquellas superficies cuya tales que el
área que las define es, numéricamente, muy pequeña y están limitadas por una
curva cerrada ( podemos entender esto con una imagen visual, la de una
barandilla sin aperturas). Lo bueno de estos cuerpos es que, aunque no estemos
a un nivel conceptual para tratarlos y entenderlos, sí podemos disfrutar de
ellos. En el siguiente enlace se presentan varias representaciones artísticas
de superficies mínimas propuestas por el Departamento de Matemáticas de la
Universidad de Indiana:
http://www.indiana.edu/~minimal/gallery/index/index.html
