La definición de infinito, que vemos en el Bachillerato, causó numerosas confusiones y paradojas en el ámbito matemático en los primeros intentos de definirlo, y también fuera de él. Una de las paradojas del infinito más interesantes es la que planteó el genial matemático alemán David Hilbert, conocida como la paradoja del hotel infinito de Hilbert.
Esta consta de dos elementos muy singulares. Un hotel con infinitas habitaciones, numeradas con números naturales (1,2,3,...) y un gerente que se jacta de no haber dejado nunca un cliente sin atender. Una desapetecible noche, cuando las habitaciones del hotel están ocupadas, se presenta un cliente que no había echo reserva. el gerente sugiere a los clientes ya instalados que se pasen a la habitación contigua de la que están (el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4 etc) dejando la primera habitación al recién llegado. Pero no es solo el único contratiempo sufrirá nuestro gerente; a medianoche, el encargado le informa que ha llegado una autobús con un número infinito de matemáticos (que por cierto,son infinitamente exigentes) para asistir a un congreso que se celebra en la ciudad. El encargado está aterrorizado ya que piensa que será imposible alojarlos a todos. Después de reflexionar unos instantes, nuestro dedicado anfitrión sugiere: " Hemos de pedirles un favor a nuestros clientes. Cada uno de ellos debe multiplicar por dos el número de la habitación en la que se aloja y trasladarse a la que tenga por resultado de la operación." Así pues, el que se aloja en la 4 pasa a la 8, el de la 23 a la 46, el de la 71 a la 142... El gerente ha dejado libre aquellas habitaciones con número impar, que cómo sabemos, es un conjuntó con cardinal infinito (nadie ha hallado el último número impar) y lo más importante, ha dado cobijo y cena a nuestros fatigados matemáticos.
Este curioso reto se sustenta en el que es imposible dar un número a lo que denominamos infinito, luego podemos considerar que nuestro hotel no tiene una habitación final. El siguiente vídeo, realizado por profesores de la Open University, nos ofrece la explicación gráfica (y con más humor) de esta curiosa paradoja que nos permite entender un poco los quebraderos que provoca la definición de infinito. Esta en inglés, pero es fácil de entender y muy entretenida.
Acerca de- David Hilbert (1862-1943), matemático alemán, famoso por llevar grandes proyectos de consolidación de las matemáticas modernas y sus numerosas contribuciones al pensamiento matemático. Citando algunas de ellas: axiomatización de la geometría, lógica matemática, análisis matemático, estudios sobre las matemáticas de la mecánica cuántica, etc.
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| Fotografía de David Hilbert, tomada de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Hilbert.jpg |
